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Niveau Maths sup
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Limites et DL

Posté par Profil etudiantilois 23-05-18 à 01:04

Bonsoir,

Je n'arrive pas à calculer les 2 limites suivantes.

Je sais qu'il faut utiliser des DL usuels pour réécrire les fractions, puis simplifier, mais comment faire ? Et est-ce que la division selon les puissances croissantes intervient ? Car je n'arrive pas à comprendre cette division...

1) \lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(cos(x) + sin^{2} x) }{x - tan (x - x^{2})}

2) \lim_{x\rightarrow \Pi /6}\frac{arctan(2sin(x))-\Pi /4}{cos(3x)}

Merci d'avance pour vos pistes.

Posté par
Schtromphmol
re : Limites et DL 23-05-18 à 10:35

Bonjour,

Citation :
Je sais qu'il faut utiliser des DL usuels pour réécrire les fractions, puis simplifier.

Bah au boulot ! DL de cos, sin et tan ? (à un ordre "suffisant"). Tu sais composer des DL non ?

Posté par Profil etudiantiloisre : Limites et DL 23-05-18 à 12:32

Non justement, je ne sais pas composer les DL...

Posté par
Schtromphmol
re : Limites et DL 23-05-18 à 12:38

Ah ! Et ça ne t'es pas venu à l'esprit de regarder dans ton cours ?

Même sur internet : .

En 5 secondes j'ai trouvé ça sur la page que je t'ai donnée :

Théorème : Soient f et g deux fonctions définies respectivement sur des intervalles I et J de R, avec x1 élement de J et x0 élement de I. On suppose que g(x0)=x1, et que f (respectivement g) admet un développement limité à l'ordre n en x1 (resp. x0) dont la partie principale est P (respectivement Q). Alors, la fonction composée admet un développement limité à l'ordre n en x0, donné par le polynôme tronqué aux puissances inférieures ou égales à n.

Posté par
luzak
re : Limites et DL 23-05-18 à 12:42

Bonjour !
Si, à chaque suggestion, ton unique réponse est "je ne sais pas faire ça, il faut d'urgence te trouver un cours moins déficient, car il n'est pas question de t'en faire un sur le forum.

Au minimum, mets le "ciel" ("Aide-toi etc..".)de ton côté en consultant les fiches du forum .
Sur ce lien, Formules de Taylor et développements limités pas difficile à trouver, tu as le résultat concernant la composition des développements limités.
Lis, essaie d'appliquer et viens nous revoir avec tes pistes d'essai si tu bloques.

Posté par
Schtromphmol
re : Limites et DL 23-05-18 à 12:46

Ah zut, j'ai mis un lien vers Bibmath, je collabore avec la concurrence

Posté par
SkyMtn
re : Limites et DL 23-05-18 à 12:47

Bonjour, pour composer les DL c'est simple. Pour le DL de f\circ g en 0 à l'ordre n il faut
- connaître le DL à l'ordre n de g en 0
- connaître celui de f en g(0)
Ensuite tu remplaces les "termes polynomiaux" du DL de f par la partie polynomiale du DL de g, du développes en ne gardant que les puissances de degré inférieur ou égal à n, enfin tu ajoutes le reste.

Pour les DL en un autre point que 0, on s'y ramène par translation.

Posté par Profil etudiantiloisre : Limites et DL 23-05-18 à 12:58

Le calcul de la limite pour la première fraction est équivalent à :

\Large \frac{ln(cos(x)+1-cos²(x))}{x-tan(x-x²)}

En utilisant les développements usuels de ln(1+x) et de tan(x) trouvés sur cette page : , on trouve :

 \Large\frac{cos(x)-cos²(x)-\frac{(cos(x)-cos²(x))²}{2}+\frac{(cos(x)-cos²(x))^{3}}{3}+o((cos(x)-cos²(x))^{4})}{x-((x-x²)+\frac{1}{3}(x-x²)^{3}+\frac{2}{15}(x-x²)^{5}+o((x-x²)^{6})}

Est-ce correct ? Est-ce ce qu'il fallait faire ?

Et surtout, que faire avec ça ?

Merci beaucoup pour l'aide.

Posté par
Schtromphmol
re : Limites et DL 23-05-18 à 14:25

Tu n'as pas fini de développer, il reste des cosinus, d'ailleurs tu n'avais pas besoin de transformer le sin² en 1-cos², ça ne simplifie pas les choses.
Ensuite il faut virer ce dont tu n'as pas besoin, ordre 4 ici c'est trop.
Après simplification tu devrais obtenir quelque chose de beaucoup plus digeste parce que là tu conviendra que ça donne pas envie.

Posté par
luzak
re : Limites et DL 23-05-18 à 17:30

Bonjour !
Tu commences par voir si les fonctions sont définies...
Quelle la limite de la fonction composée avec le logarithme ? Si c'est 1, tu es sur une bonne voie et tu poses \cos x+\sin^2x=1+u(x).
Tu essaies de deviner l'ordre qui marchera : le dénominateur étant, à vue d'œil de l'ordre 2 tu peux commencer par ce choix.
u(x)=\cos x+\sin^2x-1=\cos x\,(1-\cos x) \underset{x \to0 }{\quad=\quad}(1-\dfrac{x^2}2+o(x^2)\Bigl(\dfrac{-x^2}2+o(x^2)\Bigr)
u(x) \underset{x \to0 }{\quad=\quad}\dfrac{-x^2}2+o(x^2)  (tu ne gardes dans le produit que les termes de degré inférieur à 2).

\ln(1+u(x) \underset{x \to0 }{\quad=\quad}u(x)-\dfrac{u(x)^2}2+o(u^2).
Avec de l'expérience on sait que les termes de u^2 seront inutiles mais si tu débutes il faut le vérifier !
Donc tu calcules u(x)^2 à l'ordre 2 : u(x)^2 \underset{x \to0 }{\quad=\quad}0+o(x^2) : les termes d'ordre 0,1 et 2 dans cette fonction sont nuls.
Finalement pour le numérateur tu auras :
\ln(1+u(x)) \underset{x \to0 }{\quad=\quad}\dfrac{-x^2}2+o(x^2)

Pour le dénominateur : \tan(x-x^2) \underset{x \to0 }{\quad=\quad}(x-x^2)+o((x-x^2)^2)=x-x^2+o(x^2) et x-\tan(x-x^2) \underset{x \to0 }{\quad=\quad}x-(x-x^2)+o(x^2)=-x^2+o(x^2).

Tu en déduis
\dfrac{\ln(\cos x+\sin^2 x)}{x-\an(x-x^2)} \underset{x \to0 }{\quad=\quad}\dfrac{-x^2/2+o(x^2)}{-x^2+o(x^2)}

Posté par
luzak
re : Limites et DL 23-05-18 à 17:38

Oups :il y avait des erreurs de signe dans le texte précédent !

Erreur dans ce calcul :
u(x)=\cos x+\sin^2x-1=\cos x\,(1-\cos x) \underset{x \to0 }{\quad=\quad}(1-\dfrac{x^2}2+o(x^2)\Bigl(\dfrac{x^2}2+o(x^2)\Bigr)
u(x) \underset{x \to0 }{\quad=\quad}\dfrac{x^2}2+o(x^2) .

Finalement pour le numérateur tu auras :
\ln(1+u(x)) \underset{x \to0 }{\quad=\quad}\dfrac{x^2}2+o(x^2)

Erreur également dans la ligne qui suit.
Pour le dénominateur : \tan(x-x^2) \underset{x \to0 }{\quad=\quad}(x-x^2)+o((x-x^2)^2)=x-x^2+o(x^2) et x-\tan(x-x^2) \underset{x \to0 }{\quad=\quad}x-(x-x^2)+o(x^2)=x^2+o(x^2).

Tu en déduis , après correction :
\dfrac{\ln(\cos x+\sin^2 x)}{x-\tan(x-x^2)} \underset{x \to0 }{\quad=\quad}\dfrac{x^2/2+o(x^2)}{x^2+o(x^2)}

Posté par
etudianilois3
re : Limites et DL 24-05-18 à 03:03

Merci beaucoup pour votre réponse, très détaillée.

Cela fait depuis votre message de 17h30 que je cherche à comprendre, mais je n'y arrive pas... A quoi correspond la composition que vous faites dans votre message de 17h30 ?

Pourquoi vérifier que la fonction est définie ou non ?

Je ne comprends vraiment rien, et pourtant ce n'est pas faute de ne pas avoir cherché...

Merci encore pour vos explications.

Posté par
luzak
re : Limites et DL 24-05-18 à 08:33

Citation :
A quoi correspond la composition que vous faites dans votre message de 17h30 ?

Tu prends bien le logarithme d'une expression, non ?

Citation :

Pourquoi vérifier que la fonction est définie ou non ?

Là je ne sais plus quoi répondre, d'autres peut-être ?

Posté par
malou Webmaster
re : Limites et DL 24-05-18 à 10:43

multicompte

Posté par
lafol Moderateur
re : Limites et DL 24-05-18 à 23:04

etudianilois3 @ 24-05-2018 à 03:03



Je ne comprends vraiment rien, et pourtant ce n'est pas faute de ne pas avoir cherché ...



je crois que tout est dit ...



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