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Limites et interprétations graphiques
Bonsoir à tous!
L'exercice suivant me pose quelques problèmes :
Soit f la fonction définie sur R privé de 2 par f(x)= (-x²+5x+4)/(x-2)
Soit Cf sa représentation graphique dans un repère orthonormé.
1) Déterminez 3 réels a,b et c tels que f(x)=ax+b+(c/(x-2)).
2) Déterminez les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. En donner les interprétations graphiques s'il y a lieu.
3) Etudiez les variations de f.
4)Précisez les coordonnées des points d'intersection de la courbe de f avec les abscisses.
5) a) Montrez que la droite D d'équation y= -x+3 est une asymptote à Cf.
b) Etudiez la position relative de Cf et de D.
c) Soit M un point de Cf et N un point de D de même abscisse x. Exprimez la distance MN en fonction de x.Pour quelles valeurs de x a-t-on MN <0.01 ?
Donc pour la 1) , j'ai trouvé a=-1,b=3 et c=10 mais je voulais savoir si pour trouver a,b et c il existait une autre méthode que de faire ((ax+b)(x-2)+c)/(x-2)= (ax²+(-2a+b)x+(-2b+c)/(x-2) (,j'ai du mal avec les questions de ce genre donc si vous avez des solutions pour régler facilement ce type de question...).
2) Donc j'ai trouvé toutes les limites mais pour les interprétations graphiques j'ai dit qu'il y'avait une asymptote verticale d'équation x=2 mais faut-il que je reprécise qu'en 2- cela tend vers -
et en 2+ vers +?
3)Quand on a une question de ce genre il faut bien toujours commencer par dresser le tableau de signe de f'(x)?Par contre j'ai dresser la tableau de signe avec la dérivée (-x²+5x+4)/(x-2) mais on aurait pu le faire aussi avec f'(x) de -x+3+(10/(x-2)) ?
4) ça je n'ai pas eu de problèmes.
5)Il faut que je montre que lim -x+3 -(10/(x-2))-(-x+3)= 0 en + et - c'est bien ça (car après cela nous donne lim 10/(x-2)=0)?
b) Pour cette question il s'agit bien de dire quand Cf est en-dessous ou au-dessus de D donc il faut dresser un tableau de signe de 10/(x-2) sur R privé de 2 c'est-à-dire la tableau de signe de f(x)-(-x+3) ce qui donne - sur ]- ;2[ et + sur ]2;+[ donc on en déduit que Cf est en dessous de D sur ]-;2[ et au-dessus sur ]2;+[smb]infini[/smb[
c) Alors là je ne sais absolument pas comment faire ! Quelqu'un aurait-il la gentillesse de bien vouloir m'expliquer ?
Merci beaucoup pour votre aide (j'ai conscience que j'en demande beaucoup) !
Bonjour,
Un petit conseil Anika, évite les messages trop longs, pas aérés, ce n'est pas très "buvable" au 1er abord quand tu ouvres un topic. (ou alors structure les au maximum dans leur présentation, que celui qui vient en aide comprenne tout de suite où ça "pêche") 
1)- j'ai trouvé a=-1,b=3 et c=10 ==> c'est exact
La méthode que tu as effectuée est une identification terme à terme après avoir mis au même dénominateur (en précisant au demeurant que x ne peut pas être égal à 2, ce qui de permet de simplifier l'équation par (x-2 )
Pour quelqu'un qui a du mal avec ce genre de questions, du as plutôt pas mal réussi.
Il existe d'autres méthodes, mais pas à ton programme, comme par exemple d'effectuer une division euclidienne.
Tu poses ta division comme pour le primaire que tu divises un nombre par un autre.
Tu divises en fait -x2+5x+4 par x-2
ce qui te donne -x
-x par x-2 te donne -x2+2x, que tu retranches à -x2+5x+4 il te reste 3x+4
ce qui te donne +3
+3 par x-2 te donne 3x-6 que tu retranche à 3x+4 il te reste 10
Donc -x2+5x+4=(x-2)(-x+3)+ 10
à partir de cela, il devient facile de simplifier car tu as de fait la factorisation qui apparaît.
2) Déterminez les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. En donner les interprétations graphiques s'il y a lieu.
Il est donc important d'avoir au préalable, et ce dès la question 1, déterminé le domaine.
Une fois le domaine déterminé, tu recherches tes limites, ce qui devrais répondre à ta question relative à 2+ et 2-.
Léo
3) Etudiez les variations de f.
Sur cette question, tu me sembles faire un "savant" mélange entre la fonction et la dérivée de la fonction. 
Le "tableau de signes" dont tu parles est en fait un "tableau de variations".
on aurait pu le faire aussi avec f'(x) de -x+3+(10/(x-2)) ? ==> f'(x) n'a jamais été égale à cela.
Je te propose donc que nous regardions ton problème point par point, car certes tu sais faire des choses, c'est indéniable, mais je crois que juste quelques explications complémentaires te permettraient de remédier à quelques zones d'ombre que je subodore au travers de tes questions. 
Léo
Merci beaucoup Léonegres pour toutes vos explications et désolé de ne pas vous avoir répondu plus tôt!
En effet pour la 3 je me suis " mélangée les pinceaux " par contre pour la cinq je ne vois toujours pas comment faire.
En fait,je l'ai déjà rendu et j'ai déjà ma note (une bonne note grâce à votre aide) et pour la question 5 j'ai réussi (finalement je me suis rendue compte que c'était tout bête)!
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