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Limites et racines carrées

Posté par
Nez
25-09-11 à 15:43

Bonjour  

Voilà je bloque sur un exercice de mon Dm et j'aurais besoin de votre aide
Voici l'énoncé :


Soit f la fonction définie sur par : f(x)=\sqrt{x²+1}-2x.

1. Calculer la limite de f en - .

Pour l'instant aucun problèmes je trouve + .

2. Montrer que pour tout x>0 :     f(x)=x(\sqrt{1+\frac{1}{x²}}-2)

La je bloque , je ne sais pas du tout comment je peut faire ça , j'ai déjà essayer de recréer la fonction de l'énoncer à partir de celle-ci et vice-versa mais je ne trouve rien de cohérent .
Et ça me bloque pour la suite ...

3. En déduire la limite de f en +

Si je trouve la réponse de la précédente question j'y arriverai sans problèmes .

4. En déduire que la droite D d'équation y=-x est une asymptote oblique à la courbe de f en +

Et pour cette dernière je n'ai aucune idée de comment je pourrai faire .


C'est tout , en vous remerciant à l'avance du temps que vous consacré .

Posté par
Roberto
re : Limites et racines carrées 25-09-11 à 15:48

Bonjour,

2. Il faut factoriser par x² :

f(x)=\sqrt{x²+1}-2x=\sqrt{x²(1+\frac{1}{x²})}-2x=x(\sqrt{1+\frac{1}{x²}}-2)

Posté par
Nez
re : Limites et racines carrées 25-09-11 à 16:07

Ah d'accord merci , je vois que je me compliqué la vie ...

Donc ce qui veut dire qu'ensuite sa limite en - est : + .

Et je viens de voir que j'ai fait une erreur dans l'énoncée , j'ai oubliée :

4. Montrer que pour tout x>0 : f(x)+x=\frac{1}{\sqrt{x²+1}+x} ; ( utilisez \sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} )

et donc en 5. je dois en déduire une asymptote d'équation y=-x .

Dsl pour cette erreur .
Je vais essayer de faire le 4. maintenant .

Posté par
Nez
re : Limites et racines carrées 25-09-11 à 16:29

Bon et bien je n'arrive pas à débuter la 4.
Et-ce que l'on pourrait me donner un indice pour commencer svp ?

Posté par
Roberto
re : Limites et racines carrées 25-09-11 à 16:34

4. Alors

f(x)+x=\sqrt{x²+1}-2x+x=\sqrt{x²+1}-x=\sqrt{x²+1}-\sqrt{x²}=\frac{x²+1-x²}{\sqrt{x²+1}+\sqrt{x²}}=\frac{1}{x+\sqrt{x²+1}}

Posté par
Nez
re : Limites et racines carrées 25-09-11 à 16:40

Ca c'est de l'indice , merci beaucoup
Je vais donc ensuite essayer de faire le 5. , je suppose que je dois utiliser :
\lim_{x\to +\infty} f(x)-(ax+b)=0

Posté par
Roberto
re : Limites et racines carrées 25-09-11 à 16:42

Oui, mais c'est quoi la question 5 ?

Posté par
Nez
re : Limites et racines carrées 25-09-11 à 16:46

J'avais fait un erreur dans l'énoncé donc la question 5. c'est :

En déduire que la droite D d'équation y=-x est une asymptote oblique à la courbe représentative de f en +

Posté par
Roberto
re : Limites et racines carrées 25-09-11 à 16:49

Ah oui d'accord !

Donc en effet utilise

\lim_{x\to +\infty}f(x)-(ax+b)=0

Posté par
Nez
re : Limites et racines carrées 25-09-11 à 17:08

Je n'arrive pas à trouver les valeurs de a et de b .
On les trouves bien à partir de f(x)+x=\frac{1}{\sqrt{x²+1}+x} ?

Posté par
Roberto
re : Limites et racines carrées 25-09-11 à 17:11

En fait, on a : f(x) + x = f(x) - (ax+b)

donc ax+b = -x et donc a = -1 et b = 0

Posté par
Nez
re : Limites et racines carrées 25-09-11 à 17:32

Je crois avoir compris :

Si f(x)+x=f(x)-(ax+b)=\frac{1}{\sqrt{x²+1}+x}

Alors \lim_{x\to +\infty} f(x)=\frac{1}{\sqrt{x²+1}+x}=0

Donc il ya bien une asymptote oblique d'équation y=-x car (ax+b)=-x .

Posté par
Roberto
re : Limites et racines carrées 25-09-11 à 17:35

Oui, voilà, c'est le bon raisonnement.

Posté par
Nez
re : Limites et racines carrées 25-09-11 à 17:40

Génial , merci pour tout et bonne fin de journée !

Posté par
Roberto
re : Limites et racines carrées 25-09-11 à 17:45

Bonne fin de journée à toi aussi !



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