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Limites N°12

Posté par
beugg 26-05-16 à 15:20

Bonjour

J'aurais besoin d'aide pour cet exercice.
L'énoncé:

Calculer les limites suivantes en x0=0 des fonctions .

1. f(x)= \frac{tan^2x-sin^2x}{sinx}

2. f(x)= \frac{1-cosx}{sinx}

3. f(x)=\frac{sinx}{cosx-1}

4. f(x)=\frac{cos^2x-1}{sin^2x}

Mes réponses:

1/

f(x)= \frac{tan^2x}{sinx}-\frac{sin^2x}{sinx} \\ \\ = \frac{\frac{tan^2x}{x}*x}{\frac{sinx}{x}*x} \\ \\ = \frac{1}{1}*\frac{1}{1}=1

De même technique pour \frac{sin^2x}{sinx}
==>

Lim f(x)= 1-1=0
x→ 0

C'est bon ?

Merci d'avance

Posté par
mdr_nonre : Limites N°12 26-05-16 à 15:26

bonjour : )

Tu sais simplifier des fractions quand même ? \frac{a^2}{a} = ?

Et souviens toi que \tan = \frac{\sin}{\cos}.

Ce que tu as fait c'est bon mais trop laborieux.

Posté par
mdr_nonre : Limites N°12 26-05-16 à 15:28

Ce que tu as fait en fait n'est même pas bon.

Posté par
heklare : Limites N°12 26-05-16 à 15:35

Bonjour

\dfrac{\tan^2(x)-\sin^2(x)}{ \sin x}=\dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2 x}\times \dfrac{1}{\sin x} -\sin x=\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}-\sin x}


\displaystyle \lim_{x\to 0}(\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}-\sin x})=0

Posté par
Labore : Limites N°12 26-05-16 à 15:46

Bonjour,
rappel formules utiles pour
2)f2(x)=(1-cos(x))/sin(x)
1-cos(x)=sin^2(x/2)

sin(x)=2sin(x/2)*cos(x/2)


pour 3)
f3(x)=-1/f2(x)


pour 4)
1=cos^2(x)+sin^2(x)

Posté par
mdr_nonre : Limites N°12 26-05-16 à 15:52

Sinon pour la 2) et 3) faire usage du nombre dérivé.

Posté par
beuggre : Limites N°12 26-05-16 à 16:13

MERCI BEAUCOUP À TOUS

J'essaye avec l'une de méthodes.

Est ce que

Lim \frac{cosx}{x}=1
x→ 0.    ?

Merci

Posté par
beuggre : Limites N°12 26-05-16 à 16:17

C'est égal à 1

Posté par
mdr_nonre : Limites N°12 26-05-16 à 16:17

Non, si tu mets les détails tu verras.

Posté par
Labore : Limites N°12 26-05-16 à 16:20

c' est quelle fonction  ?
de plus c'est faux
\lim_{x\to 0}\dfrac{cos(x)}{x}=\lim_{x\to 0}{\dfrac{1}{0}=\pm\infty \\

Posté par
beuggre : Limites N°12 26-05-16 à 16:26

Ok
2/

1-cosx= sin2(x/2)  ==>

\frac{1-cosx}{sinx}= \frac{sin^2(x/2)}{sinx} \\ \\ = \frac{sinx}{2}  ?

Posté par
Labore : Limites N°12 26-05-16 à 16:30

pour f2)
oups j'ai oublie un "2"
2sin^2(x/2)=1-cos(x)
exprime sin(x) en fonction de x/2

Posté par
beuggre : Limites N°12 26-05-16 à 16:39

C'est-à-dire

Sinx= 2sin(x/2)*cos(x/2) ?

Posté par
Labore : Limites N°12 26-05-16 à 16:44

  f_2(x)=\dfrac{1-cos(x)}{sin(x)}
exprime en fonction de x/2  sachant que :
2sin^2(x)=1-cos(x)
sin(x)=2*sin(x/2)*cos(x/2)

Posté par
beuggre : Limites N°12 26-05-16 à 17:29

Ok

f(x)=\frac{2sin^2(x/2)}{2sin(x/2)*cos(x/2)} \\ \\ = \frac{2sin(x/2)}{2cos(x/2)}

Or cos2(x)= 2cos(x)sin(x)

C'est bon ?

Posté par
Labore : Limites N°12 26-05-16 à 17:41

  en simplifiant par 2  l'expression de f
détermine
\lim_{x\to 0} \dfrac{sin(x/2)}{cos(x/2)}=..........

Posté par
beuggre : Limites N°12 26-05-16 à 18:05

=

Lim tan(x/2)
x→ 0. ?

Posté par
Labore : Limites N°12 26-05-16 à 18:10

OUI mais  précise la valeur de la limite en 0  ou
\lim_{x\to 0} \dfrac{sin(x/2)}{cos(x/2)}=\dfrac{...}{...}=..

Posté par
beuggre : Limites N°12 26-05-16 à 18:25



Lim \frac{sin(0/2)}{cos(0/2)}=\frac{sin(0)}{cos(0)}=\frac{0}{1}=0 \\ x→ 0  ?

Posté par
beuggre : Limites N°12 26-05-16 à 18:25

Pardon qd x tend vers 0

Posté par
Labore : Limites N°12 26-05-16 à 18:28

Oui   0 quand x tend vers 0

passons à la 3ème
que proposes-tu ?

Posté par
mdr_nonre : Limites N°12 26-05-16 à 18:32

Avec le nombre dérivé.

\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{1 - \cos x}{x}\times\frac{x}{\sin x} = -\frac{\cos x - 1}{x}\times\frac{x}{\sin x} = -\frac{\cos x - 1}{x}\times\frac{1}{\frac{x}{\sin x}}

Or :
*   \lim_{x\to0} \frac{\cos x - 1}{x} = 0 d'où \lim_{x\to0} -\frac{\cos x - 1}{x} = 0 (nombre dérivé de la fonction cosinus en 0)
et
*   \lim_{x\to0} \frac{x}{\sin x} = 1 d'où \lim_{x\to0} \frac{1}{\frac{x}{\sin x}} = 1 (nombre dérivé de la fonction sinus en 0)

D'où : \lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{\sin x} = 0\times1 = 0

Posté par
mdr_nonre : Limites N°12 26-05-16 à 18:36

mdr_non @ 26-05-2016 à 18:32

Avec le nombre dérivé.

\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{1 - \cos x}{x}\times\frac{x}{\sin x} = -\frac{\cos x - 1}{x}\times\frac{x}{\sin x} = -\frac{\cos x - 1}{x}\times\frac{1}{\frac{\sin x}{x}}

Or :
*   \lim_{x\to0} \frac{\cos x - 1}{x} = 0 d'où \lim_{x\to0} -\frac{\cos x - 1}{x} = 0 (nombre dérivé de la fonction cosinus en 0)
et
*   \lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x} = 1 d'où \lim_{x\to0} \frac{1}{\frac{\sin x}{x}} = 1 (nombre dérivé de la fonction sinus en 0)

D'où : \lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{\sin x} = 0\times1 = 0

Posté par
beuggre : Limites N°12 26-05-16 à 19:03

Ok mdr_non pour cette méthode précise !

3/

\frac{sinx}{cosx-1}= \frac{\frac{sinx}{x}*x}{\frac{cosx-1}{x}*x} \\ \\ = \frac{\frac{sinx}{x}}{\frac{cosx-1}{x}}*\frac{x}{x}  ==> \\ \\ Lim f(x)=\frac{1}{0}*\frac{1}{1}=+\infty \\ x--->0

C'est bon ?

Posté par
mdr_nonre : Limites N°12 26-05-16 à 19:08

Tu dois faire attention à ceci :

Symboliquement : 1/0 vaut l'\pm\infty.
Pour faire la différence entre +\infty et -\infty il faut regarder le signe de 0.
Nous avons 1/0^+ = +\infty et 1/0^- = -\infty.

Donc recommence en prenant ceci en compte (la limite en 0^+ et 0^-). Et remarque qu'il y a un lien entre 2) et 3). On pouvait utiliser le résultat de 2) pour traiter 3).

Posté par
beuggre : Limites N°12 26-05-16 à 19:26

Ok  

Lim f(x)= \frac{1}{0^+}=+\infty \\ x---> 0^+ \\ \\ Lim f(x)= \frac{1}{0^-}=-\infty \\ x--->0^-   ?

Posté par
beuggre : Limites N°12 26-05-16 à 19:45

mdr_non @ 26-05-2016 à 19:08

Tu dois faire attention à ceci

Donc recommence en prenant ceci en compte (la limite en 0^+ et 0^-).


C'est ça ce que vous voulez dire ?

Posté par
mdr_nonre : Limites N°12 26-05-16 à 19:53

Non regarde :

Lorsque x tend vers 0 avec x > 0 nous avons que \cos(x) - 1 est négatif d'où \lim_{x\to0^+} \frac{\cos(x) - 1}{x} = 0^-.

Tu comprends ?

Posté par
mdr_nonre : Limites N°12 26-05-16 à 19:57

Ou écris autrement :

\lim_{x\to0^+} \frac{\cos x - 1}{x} = \lim_{x\to0^+} -\sin x = 0^-

Posté par
beuggre : Limites N°12 26-05-16 à 19:58

Pourquoi cosx-1 est négatif ?

Posté par
mdr_nonre : Limites N°12 26-05-16 à 20:00

Nous avons que \forall x \in \mathbb{R}, -1 \leq \cos x \leq 1 d'où -2 \leq \cos x - 1 \leq 0

Posté par
beuggre : Limites N°12 26-05-16 à 20:01

D'accord

Posté par
mdr_nonre : Limites N°12 26-05-16 à 20:07

Donc :
\lim_{x\to0^+} \frac{\cos(x) - 1}{x} = 0^- d'où \lim_{x\to0^+} \frac{1}{\frac{\cos(x) - 1}{x}} = -\infty (car 1/0^- = -\infty comme je t'ai expliqué, et tu le sais de toute façon \lim_{X\to0^-} \frac{1}{X} = -\infty)

De plus \lim_{x\to0^+} \frac{\sin x}{x} = 1

Ainsi \lim_{x\to0^+} \frac{\sin x}{\cos x - 1} = -\infty (car 1 \times (-\infty) = -\infty)

Posté par
beuggre : Limites N°12 26-05-16 à 20:40

Oui c'est clair

4/

f(x)= \frac{cos^2x-1}{sin^2(x)}=\frac{(cosx-1)(cosx+1)}{sin^2(x)}  ?

Posté par
mdr_nonre : Limites N°12 26-05-16 à 20:42

La 3) n'est pas finie. On a fait le calcul de la limite en 0^+ mais on n'a pas fait en 0^-.

Sinon pour la 4) il y a plus simple. \boxed{\forall x \in \R, \cos(x)^2 + \sin(x)^2 = 1}

Posté par
beuggre : Limites N°12 26-05-16 à 20:58

Oui en 0-

Lim f(x)= +
x→ 0-

Posté par
mdr_nonre : Limites N°12 26-05-16 à 20:58

Oui.

Tu peux faire la dernière.

Posté par
beuggre : Limites N°12 26-05-16 à 21:10

4/
f(x)=\frac{cos^2x-1}{sin^2x}=\frac{-sin^2x}{sin^2x} \\ ==>
Lim f(x)= \\ x--->0 \\ \\ Lim \frac{-sin^2x}{sin^2x}=-1 \\ x--->0. ?

Posté par
mdr_nonre : Limites N°12 26-05-16 à 21:23

Quand tu as des fractions simplifie au maximum.

f(x) = \frac{\cos(x)^2 - 1}{\sin(x)^2} = \frac{-\sin(x)^2}{\sin(x)^2} = -1

d'où \lim_{x\to0} f(x) = \lim_{x\to0} -1 = -1

Posté par
beuggre : Limites N°12 26-05-16 à 21:34

D'accord

Revenir en arrière, à 18h36, vous avez utilisé des nombres dérivés de la fonction.

Je pense que je ne les avais pas vu avant.

\frac{1-cosx}{x}= \frac{-cosx-1}{x} ... non ?

Posté par
mdr_nonre : Limites N°12 26-05-16 à 21:40

Non :
\Large \frac{1 - \cos x}{x} = \frac{(-1)\times\left(\cos x - 1\right)}{x} = -\frac{\cos x - 1}{x}

Posté par
beuggre : Limites N°12 26-05-16 à 21:57

Ok
De même

\frac{x}{sinx}= \frac{\frac{1}{x}}{sinx}

(Nombre dérivé de la fonction ?)

Posté par
mdr_nonre : Limites N°12 26-05-16 à 22:00

\Large \frac{x}{\sin x} = \frac{1}{\frac{\sin x}{x}}

Or \Large \lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to0} \frac{\sin x - \sin0}{x - 0} = \cos0 = 1 (nombre dérivé de la fonction sinus en 0)

Posté par
beuggre : Limites N°12 26-05-16 à 22:12

Oui

Mais pourquoi

\frac{x}{sinx}    =   \frac{\frac{1}{sinx}}{x}  ?

Cette égalité

Merci

Posté par
mdr_nonre : Limites N°12 26-05-16 à 22:20

Tu ne sais pas qu'un nombre non nul est l'inverse de son inverse ?

Si a est non nul : a = 1 / (1 / a).

Attention à ce que j'ai écrit. Les parenthèses jouent beaucoup. C'est 1 divisé par (1/a).

Ce que tu as écrit ne va pas. (A cause de la position de la barre de fraction principale.)


\huge \frac{x}{\sin x} = \frac{1}{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}


Les régles de calculs sur les fractions :

\huge \boxed{A, B, C, D \in \mathbb{R}^*,  \frac{\frac{A}{B}}{\frac{C}{D}} = \frac{A}{B}\times\frac{D}{C}}


Ainsi :
\huge \frac{1}{\left(\frac{\sin x}{x}\right)} = 1\times\left(\frac{x}{\sin x}\right) = \frac{x}{\sin x} comme voulu.

Posté par
beuggre : Limites N°12 26-05-16 à 22:29

JE SUIS DÉSOLÉ !!!!

Posté par
mdr_nonre : Limites N°12 26-05-16 à 22:33

Tu n'as pas à être désolé de faire des erreurs. C'est ainsi qu'on apprend.

Posté par
beuggre : Limites N°12 26-05-16 à 22:35

Merci beaucoup mdr_non pour votre aide

Je suis désolé pour certaines questions

Et merci à tous

Posté par
beuggre : Limites N°12 26-05-16 à 22:36

Oui c'est vrai

Posté par
mdr_nonre : Limites N°12 26-05-16 à 22:36

Je t'en prie : ) Bonne continuation : )


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