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Limites N°14
Bonjour
J'aimerais avoir votre avis sur ma réponse.
L'énoncé:
Soit
Déterminer
Ma réponse:
Correct ?
Merci d'avance 
bonjour : )
Non.
Ici il faut utiliser le théorème des gendarmes. La fonction sinus vérifie une inégalité bien connue, laquelle ?
Oui nous avons que
Comme c'est valable pour absolument tous les réels qui existent on a également que :
On peut maintenant, à partir de cette dernière égalité, encadrer f(x).
Attention (lors du produit) à distinguer x positif ou négatif. En utilisant des valeurs absolues on irait plus vite.
Non, comment tout à coup une division par x apparait ?
Lorsqu'on multiplie une inégalité par un nombre positif celle-ci conserve son sens.
Ainsi alors on a [tex]-x \leq x\sin\frac{1}{x} \leq x[/tex.
Non, comment tout à coup une division par x apparait ?
Lorsqu'on multiplie une inégalité par un nombre positif celle-ci conserve son sens.
Ainsi si
salut,
pour x different de 0 ona -1<=sin(1/x)<=1 (tout sinus est entre -1 et 1)
pour x>0 on a donc -x<=x*sin(1/x)<=x
Quelle est la limite de x et de -x en 0 ?
Que peut-on en conclure ?
pour x<0 on a donc ??<=x*sin(1/x)<=??
A toi la suite
Plutôt
-x
xsin(1/x) x. ==>
-1 et
1 ?L'idée du théorème des gendarmes est de donner la limite d'une fonction en l'encadrant par deux fonctions (gendarmes) plus simples qui ont la même limite.
Théorème des gendarmes (ou théorème d'encadrement) :
Soient I un intervalle réel et a un point de I.
On considère trois fonctions f, g et h définies sur I sauf éventuellement en a.
Si pour tout
et si
alors on a
Dans le théorème L désigne un nombre ou l'infini. Et le théorème est encore valable si limite se fait à l'infini.
Tu vois qu'en utilisant ce théorème on n'a pas besoin de calculer la limite de f, on parvient à la déterminer simplement en calculant la limite de g et h (existence requise).
Application :
On a vu que
On reconnait au milieu
Or
D'où en conclusion
Bonjour ,c'est parfait ! Merci beaucoup
x <0 , -1 sin(1/x) 1
-x(-1) -xsin(1/x) 1(-x)
-x -xsin(1/x) x
Il va falloir reprendre les règles sur les inégalités,
Comme x est négatif, si on multiplie l'inégalité par x alors elle change son sens :
soit
Si tu veux vraiment multiplier par -x (pourquoi ?) alors comme -x est positif l'inégalité conserve son sens :
soit comme ci-dessus.
Le résultat ok. Mais il faut la limite de f en , quelle est-elle ?
Oui alb12
Pour mdr_non ,pourtant c'est juste ce que j'ai fait sauf j'ai mis le signe - à l'inconnu x
Non ce n'est pas ce que tu as mis.
Tes inégalités sont fausses, relis bien.
Le résultat final oui il est bon. Mais pourquoi prendre f(-x) ? Même si f(-x) = f(x) (ce qui permettait d'ailleurs de conclure directement à partir du résultat précédent sans inégalités supplémentaires).
Il te faut calculer ici . Et on trouve
Oui j'ai compris ,on le même résultat
C'est pourquoi vous m'avez conseillé dès le début d'utiliser les valeurs absolues.
Comme alb vient de me signaler .Parce qu'on sait |sinx| 0 
-1 sinx 1
En fait je t'avais conseillé les valeurs absolues car cela nous évite de faire deux inégalités.
Nous avons que |f(x)| = |x*sin(1/x)| ensuite avec les propriétés de la valeur absolue nous obtenons : |f(x)| = |x|*|sin(1/x)|
Or nous avons que pour tout réel x non nul : |sin(1/x)| <= 1 si bien que |x|*|sin(1/x)| <= |x| soit |f(x)| <= |x|
Deux façons de conclure à partir d'ici :
a) Il y a une inégalité encore qui est cachée (implicite) et c'est celle-ci : |f(x)| >= 0
d'où en fait pour tout x non nul : 0 <= |f(x)| <= |x|
Mais d'où d'après le théorème des gendarmes
b) Par définition de la valeur absolue nous avons que |f(x)| <= |x| est équivalent à -|x| <= f(x) <= |x|
A nouveau le théorème des gendarmes : d'où
Ok ?
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