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Limites trigonométriques

Posté par
matheux14 10-12-20 à 22:36

Bonsoir ,

Merci d'avance.

Étudier la limite de la fonction f en a.

1) f(x)=\dfrac{cos ~ x}{x-\dfrac{\pi}{2}} , a=π/2

2) f(x)=\dfrac{sin ~ x-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{x-\dfrac{\pi}{4}} , a=π/4

Réponses

Cos(π/2)=0

Et π/2-π/2=0

==> Une forme indéterminée..

Pareil pour la deuxième question..

Je ne sais pas comment faire.

Posté par
bbjhakanre : Limites trigonométriques 10-12-20 à 22:44

bonsoir
justement avec cos(pi/2)=0, ne vois-tu pas jn moyen de réécrire le terme?
tu devrais ensuite reconnaître une expression connue

Posté par
matheux14re : Limites trigonométriques 11-12-20 à 06:54

Je vois cos x = -sin x

Posté par
bbjhakanre : Limites trigonométriques 11-12-20 à 13:00

c'est faux ce que tu écris
ne vois-tu pas comment réécrire le numérateur de f pour y faire apparaître \cos \dfrac{\pi}2 ?

Posté par
Glapion Moderateurre : Limites trigonométriques 11-12-20 à 14:19

En absence de bbjhakan, fais apparaître un accroissement de la forme (f(x)-f(a))/(x-a) qui tend vers ... ?

Posté par
matheux14re : Limites trigonométriques 11-12-20 à 14:23

Je ne comprends pas

Comment utilise t on le taux d'accroissement ?

Quand est ce qu'il faut l'utiliser ?

Posté par
Glapion Moderateurre : Limites trigonométriques 11-12-20 à 14:29

Par définition du nombre dérivé en x=a on sait que (f(x)-f(a))/(x-a) tend vers f'(a) donc si on repère une expression qui a cette forme la, alors on trouve facilement la limite en calculant la dérivée de la fonction en x=a.

C'est le cas de \dfrac{cos ~ x}{x-\dfrac{\pi}{2}} qui peut aussi s'écrire \dfrac{cos ~ x - cos\dfrac{\pi}{2}}{x-\dfrac{\pi}{2}} (c'est ce que bbjhakan essayait de te faire trouver), et donc la fonction correspondante c'est .... ? et sa dérivée en /2 vaut ... ?

Posté par
matheux14re : Limites trigonométriques 11-12-20 à 17:56

Ok ,

f(x)\dfrac{cos ~ x - cos\dfrac{\pi}{2}}{x-\dfrac{\pi}{2}}

Donc f'(x)=\dfrac{(cos ~ x - cos\dfrac{\pi}{2})'(x-\dfrac{\pi}{2})-(cos ~ x - cos\dfrac{\pi}{2})(x-\dfrac{\pi}{2})'}{(x-\dfrac{\pi}{2})²}

f'(x)=\dfrac{-sin~ x +sin (\dfrac{\pi}{2})-(cos~x- cos(\dfrac{\pi}{2})}{(x-\dfrac{\pi}{2})²}

Posté par
matheux14re : Limites trigonométriques 11-12-20 à 18:01

Oups

f'(x)=\dfrac{(-sin~ x +sin (\dfrac{\pi}{2}))(x-\dfrac{\pi}{2})-(cos~x- cos(\dfrac{\pi}{2}))}{(x-\dfrac{\pi}{2})²}

Posté par
bbjhakanre : Limites trigonométriques 11-12-20 à 18:03

non
tu devrais revoir le cours sur le taux d'accroissement avant de reprendre l'exercice

Posté par
matheux14re : Limites trigonométriques 11-12-20 à 18:08

Pourtant je maîtrise parfaitement le cours sur les dérivés..

Dérivée = taux de variation

Non ?

Posté par
bbjhakanre : Limites trigonométriques 11-12-20 à 18:13

la dérivée de g en un point a est la limite du taux d'accroissement, si g est dérivable en a

ce qui veut dire que \dfrac{g(x)-g(a)}{x-a} tend vers g'(a) lorsque x tend a

ici qui est a ? qui est g?

Posté par
Pirhore : Limites trigonométriques 11-12-20 à 18:16

Bonjour à vous 2,

je ne fais que passer!

je trouve qu'utiliser le taux d'accroissement  c'est se compliquer la vie alors qu'il suffit d'écrire

cos(x)= -sin(x-\dfrac{\pi}{2}}) et c'est pratiquement fini

Posté par
matheux14re : Limites trigonométriques 11-12-20 à 18:17

a=π/2 et g est la fonction f.

Il n'y aurait pas une autre méthode à part ça ?

Parce que je ne comprends pas vraiment ..

Posté par
matheux14re : Limites trigonométriques 11-12-20 à 18:34

Bonjour Pirho

f(x)=\dfrac{cos ~ x}{x-\dfrac{\pi}{2}}=\dfrac{-sin~(x-\dfrac{\pi}{2})}{x-\dfrac{\pi}{2}}

Posons X=x-\dfrac{\pi}{2}

Lorsque x tend vers π/2 , X tend vers 0.

Donc \lim_{x\to\frac{\pi}{2}f(x)=-1

Posté par
bbjhakanre : Limites trigonométriques 11-12-20 à 18:40

ce que je voulais te faire écrire c'est

\dfrac{\cos x - \cos \dfrac{\pi}2}{x-\dfrac{\pi}2}
or x \mapsto \cos x est dérivable en \dfrac{\pi}2 donc \lim_{x \to \frac{\pi}2} f(x)= -\sin ( \dfrac{\pi}2 )=-1 (la dérivée de cos étant -sin)

Posté par
matheux14re : Limites trigonométriques 11-12-20 à 18:50

Ok ,

2) Je fais comment ?

Posté par
bbjhakanre : Limites trigonométriques 11-12-20 à 18:56

tu peux essayer de le faire avec un taux d'accroissement pour voir si tu as compris

Posté par
jarod128re : Limites trigonométriques 11-12-20 à 18:57

Bonjour,
Si tu as compris la 1) la 2) se fait immédiatement

Posté par
matheux14re : Limites trigonométriques 11-12-20 à 19:08

J'ai pas compris le taux de variation..

En fait on n'a pas encore entamer le cours sur la dérivabilité

Posté par
matheux14re : Limites trigonométriques 11-12-20 à 19:12

Alors j'ai essayé avec celle que j'ai compris

f(x)=\dfrac{sin ~ x-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{x-\dfrac{\pi}{4}}=\dfrac{cos~(x-\dfrac{\pi}{2})-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{x-\dfrac{\pi}{2}}

Je ne vois pas quoi faire ensuite..

Posté par
jarod128re : Limites trigonométriques 11-12-20 à 19:13

matheux14 @ 11-12-2020 à 18:08

Pourtant je maîtrise parfaitement le cours sur les dérivés..

Dérivée = taux de variation

Non ?
matheux14 @ 11-12-2020 à 19:08

J'ai pas compris le taux de variation..

En fait on n'a pas encore entamer le cours sur la dérivabilité
?

Posté par
matheux14re : Limites trigonométriques 11-12-20 à 19:15

matheux14 @ 11-12-2020 à 19:12

Alors j'ai essayé avec celle que j'ai compris

f(x)=\dfrac{sin ~ x-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{x-\dfrac{\pi}{4}}=\dfrac{cos~(x-\dfrac{\pi}{2})-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{x-\dfrac{\pi}{4}}

Je ne vois pas quoi faire ensuite..

Posté par
matheux14re : Limites trigonométriques 11-12-20 à 19:20

Oui y a un cours sur les dérivés ( fonctions usuelles) et un cours sur la dérivabilité...

Posté par
jarod128re : Limites trigonométriques 11-12-20 à 19:34

En première on voit la dérivabilité avec la limite du taux d'accroissement. Il ne s'agit que de ça ici.

Posté par
matheux14re : Limites trigonométriques 11-12-20 à 19:43

Ah d'accord ..

f(x)=\dfrac{sin ~ x-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{x-\dfrac{\pi}{4}}=\dfrac{sin ~x -sin(\dfrac{\pi}{4}}{x-\dfrac{\pi}{4}}

Alors qu

Posté par
matheux14re : Limites trigonométriques 11-12-20 à 19:44

Après avoir remarqué cela , je vois qu'on peut utiliser le taux d'accroissement..

Mais comment je fais ensuite ?

Posté par
jarod128re : Limites trigonométriques 11-12-20 à 19:54

Il s'agit du taux d'accroissement de quelle fonction et en quel point?

Posté par
Pirhore : Limites trigonométriques 11-12-20 à 23:51

Pirho @ 11-12-2020 à 18:16

Bonjour à vous 2,

je ne fais que passer!

je trouve qu'utiliser le taux d'accroissement  c'est se compliquer la vie

autant pour moi; je n'ai pas toujours le réflexe mais ça marche bien aussi  

Posté par
Pirhore : Limites trigonométriques 11-12-20 à 23:54

zut...

au temps pour moi....

Posté par
matheux14re : Limites trigonométriques 12-12-20 à 09:57

jarod128 @ 11-12-2020 à 19:54

Il s'agit du taux d'accroissement de quelle fonction et en quel point?


Bonjour , en π/4

Posté par
jarod128re : Limites trigonométriques 12-12-20 à 10:11

De quelle fonction ?

Posté par
matheux14re : Limites trigonométriques 12-12-20 à 10:13

f(x)=\dfrac{sin ~x -sin(\dfrac{\pi}{4})}{x-\dfrac{\pi}{4}} \\

Celle là je crois bien

Posté par
jarod128re : Limites trigonométriques 12-12-20 à 10:29

Non. Revois le taux d'accroissement d'une fonction

Posté par
matheux14re : Limites trigonométriques 12-12-20 à 10:48

Je le revois mais y a quelque chose que je ne comprends pas.

Citation :
f(x)=\dfrac{sin ~x -sin(\dfrac{\pi}{4})}{x-\dfrac{\pi}{4}} \\


Une fois qu'on remarque qu'une fonction peut s'écrire de cette manière là .. qu'est ce qu'on fait ensuite ?

Posté par
jarod128re : Limites trigonométriques 12-12-20 à 11:00

On voit que f(x) est le taux d'accroissement en pi/4 de quelle fonction ?

Posté par
matheux14re : Limites trigonométriques 12-12-20 à 11:29

De f'(x) sa dérivée.

Posté par
jarod128re : Limites trigonométriques 12-12-20 à 12:41

Non. Quelle est la définition du taux de variation d'une fonction ?

Posté par
matheux14re : Limites trigonométriques 12-12-20 à 15:24

Étant donné deux valeurs x1 et x2 du domaine d'une fonction f, le taux de variation de cette fonction de x1 à x2 est le rapport : \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}

Posté par
Glapion Moderateurre : Limites trigonométriques 12-12-20 à 15:27

Ben alors dans \dfrac{sin ~x -sin(\dfrac{\pi}{4})}{x-\dfrac{\pi}{4}} qu'est-ce qui joue le rôle de f(x) ?

Posté par
matheux14re : Limites trigonométriques 12-12-20 à 16:00

C'est sin x

Posté par
matheux14re : Limites trigonométriques 12-12-20 à 19:07

Bonsoir ,

Posté par
matheux14re : Limites trigonométriques 12-12-20 à 19:29

\dfrac{\sin x - \sin \dfrac{\pi}4}{x-\dfrac{\pi}4}
or x \mapsto \sin x est dérivable en \dfrac{\pi}4 donc \lim_{x \to \frac{\pi}4} f(x)= \cos ( \dfrac{\pi}4 )=\dfrac{\sqrt{2}}{2} (la dérivée de sin étant cos).

Posté par
Glapion Moderateurre : Limites trigonométriques 12-12-20 à 19:57

voilà, c'est ça.

Posté par
matheux14re : Limites trigonométriques 12-12-20 à 20:33

Merci


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