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limitesss de suitess
Bonjour,
pouvez vous m'aider?
On considere la suite de terme general Un = 2^n/(
n!)
1. demontrer que Un est decroissante à partir du rang 3
2. etablir que , pour tout n, superieur ou egal à 15, Un+1 
un/2
3. demontrer que pour tout n superieur ou egal à 15 Un (1/2)^(n-15). en deduire la limite de la suite Un
merci d'avance
1)
U(n+1)/U(n) = [2^(n+1)/(V((n+1)!))]/[2^n/(V(n!))] = 2/V(n+1)
Pour n <= 2, U(n+1)/U(n) > 1 et la suite est croissante.
Pour n >= 3, U(n+1)/U(n) < 1 et la suite est décroissante.
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2)
U(n+1)/U(n) = 2/V(n+1)
Pour n >= 15 ->
U(n+1)/U(n) <= 2/V(15+1)
U(n+1)/U(n) <= 1/2
U(n+1) <= (1/2).U(n)
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3)
Si on avait U(n+1) = (1/2) U(n)
Un serait une suite géométrique de raison (1/2) et de premier terme U(15) = 0,028... < 1/2
Donc Un <= 1.(1/2)^(n-15) (pour n >= 15)
Un <= 1.(1/2)^(n-15)
lim(n->oo) Un <= lim(n->oo) (1/2)^(n-15)
lim(n->oo) Un <= 0
Mais comme Un est positif, on conclut que: lim(n->oo) Un = 0.
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Sauf distraction. 
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