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limitesup et inegalite

Posté par
astroq123 12-03-18 à 10:26

Salut, pouvez vous ma'ider s'il vous plait :

je veux prouver que si \limsup_{n}{u_n}>1 alors pour tout n \in \mathbb{N}^*, il existe k \geq n,$ telle que $u_k \geq 1,

Pour cela j'ai dit que \forall \epsilon>0, \exists n_0 \in \mathbb{N}^*,\forall n\geq n_0,1-\epsilon < -\epsilon+\limsup_j{u_j}\leq sup_{k\geq n}{u_k}\leq \epsilon+\limsup_j{u_j} et la j'ai bloqué, quelqu'un a une idée comment resoudre cet exercice?

merci d'avance

Posté par
matheuxmatoure : limitesup et inegalite 12-03-18 à 10:45

bonjour

Si la limite supérieure vaut L, on peut extraire une sous-suite qui tend vers L ... non ?

Posté par
astroq123re : limitesup et inegalite 12-03-18 à 10:47

Vous voulez appliquer Bolzano-weistrass??

Posté par
matheuxmatoure : limitesup et inegalite 12-03-18 à 10:51

ta suite v_n = Sup_{k \geqslant n} \{u_k\} croit et tend vers L

c'est bien la définition que tu as de la limite sup ?

Posté par
astroq123re : limitesup et inegalite 12-03-18 à 10:51

j'ai pensé à la contraposée, je pense que ca devient plus facile, sans utiliser les valeurs d'adherence...

Posté par
astroq123re : limitesup et inegalite 12-03-18 à 10:53

\limsup=lim_{n \rightarrow  +\infty}{sup_{k>n}}

Posté par
astroq123re : limitesup et inegalite 12-03-18 à 10:53

oui c'est la meme def

Posté par
matheuxmatoure : limitesup et inegalite 12-03-18 à 11:01

en prenant L=1+2 \epsilon

\exists N ; \forall p > N \Rightarrow L-\epsilon < v_p

\exists k > n ; v_p-\epsilon < u_k \leqslant v_p

ça marche pas avec un truc dans ce style là ?

Posté par
matheuxmatoure : limitesup et inegalite 12-03-18 à 11:02

pardon sur la troisième ligne c'est \exists k > <b>p</b>

Posté par
matheuxmatoure : limitesup et inegalite 12-03-18 à 11:02

ah crotte !
\exist k > p

Posté par
jsvdbre : limitesup et inegalite 12-03-18 à 11:44

Bonjour astroq123

astroq123 @ 12-03-2018 à 10:26


Pour cela j'ai dit que \forall \epsilon>0, \exists n_0 \in \mathbb{N}^*,\forall n\geq n_0,1-\epsilon < -\epsilon+\limsup_j{u_j}\leq sup_{k\geq n}{u_k}\leq \epsilon+\limsup_j{u_j} et la j'ai bloqué.

Tu m'étonnes que tu as bloqué, ce que tu as écrit n'a pas de sens. Utilise les définitions de façon simple et limpide :

L=\limsup_{n}{u_n} \in ]1;+\infty] (oui, je travaille dans \bar \R) donc par définition :

la suite n\mapsto \tilde u_n = \sup \{u_i~/~i \geq n \} est décroissante et admet pour limite L et donc pour tout entier n,~\tilde u_n \geq L.

Donc, par définition de la borne sup, en prenant 0<\varepsilon < L -1, \varepsilon \in ]0;\red +\infty[, et pour tout entier n, on peut trouver un entier \varphi(n)\geq n tel que :

- |u_{\varphi(n)}-\tilde u_n| < \varepsilon si L \neq +\infty et ainsi, 1\leq\tilde u_n-\varepsilon\leq u_{\varphi(n)}

- u_{\varphi(n)} > 1 de façon triviale si L = +\infty

Ce que l'on voulait.

Posté par
jsvdbre : limitesup et inegalite 12-03-18 à 15:14

Citation :
- u_{\varphi(n)} > 1 de façon triviale si L = +\infty

Précisons simplement que dans ce cas, alors pour tout A > 1, on a L > A et on se ramène au cas L < +\infty.

Posté par
astroq123re : limitesup et inegalite 13-03-18 à 13:52

Salut, pour la preuve, j'ai procédé de la façon suivante:
J'ai supposé que \limsup_n{u_n}>1, et alors

\forall n \in \mathbb{N}^*,sup_{k\geq n}{u_k}>1

je vais noter (P) la derniere proposition, maintenant je vais utiliser la definition de la borne supérieure, cad c'est le plus petit majorant, en d'autre terme pour tout n \in \mathbb{N}^*:
\forall m \in \mathbb{R},(\forall k \geq n,u_k}\leq m) \Rightarrow sup_{j\geq n}{u_j}\leq m

en prenant la contraposée de cette implication et pour m=1, on obtient:

(P)\Rightarrow \forall n \in \mathbb{N}^*,\exists k \geq n; u_k>1

D'où le résultat.

Posté par
astroq123re : limitesup et inegalite 13-03-18 à 21:48

jsvdb, pensez-vous qu'il y a une similitude entre votre methode et la mienne??
(j'ai pas utiliser le \epsilon)

Posté par
jsvdbre : limitesup et inegalite 13-03-18 à 22:26

Tu fais deux erreurs de raisonnement :

Citation :
maintenant je vais utiliser la définition de la borne supérieure, cad c'est le plus petit majorant, en d'autre terme pour tout n \in \mathbb{N}^*:
\forall m \in \mathbb{R},(\forall k \geq n,u_k}\leq m) \Rightarrow {\red sup_{j\geq n}{u_j}}\leq m

Tu ne peux pas utiliser la définition de la borne sup et en même temps utiliser sup dans la définition, c'est le serpent qui se mord la queue.

Ensuite, en supposant que tu aies bien utilisé la définition, je ne vois pas comment tu passes de cette ligne à la suivante. Car tout ce qu'on peut dire, c'est qu'à partir d'un certain et pour tout m > 1, les u_k sont inférieurs à m.. Ça marcherait tout pareil si la suite était négative.

Conclusion : à aucun moment tu ne caractérise réellement ceci (la partie rouge) :

Citation :
J'ai supposé que \limsup_n{u_n}>1, et alors

\red \forall n \in \mathbb{N}^*,\sup_{k\geq n}{u_k}>1

Donc je te pose la question, que signifie que la quantité L>1 soit le \sup ~\{u_k~/~k \geq n\} ?

Moralité : sans utilisation des \varepsilon, il faut bien comprendre ce qu'est une borne sup. Je constate fréquemment que l'on sait en donner la définition mais qu'on ne sait pas l'exploiter proprement.

Posté par
astroq123re : limitesup et inegalite 13-03-18 à 22:55

j'ai supposé que \limsup_n u_n>1 or ona aussi \limsup_n u_n=inf_{n \in \mathbb{N}^*}sup_{k \geq  n}u_k>1
c'est pour cela \forall n \in \mathbb{N}^*, sup_{k\geq n}>1

vous avez raison de dire que c'est pas une def de la borne sup, on peut dire qu'elle une caracérisation pour la borne sup:
\forall m \in \mathbb{R},(\forall k \geq n,u_k}\leq m) \Rightarrow sup_{j\geq n}{u_j}\leq m

le resultat est aussi vrai pour sa contraposée:
\forall m \in \mathbb{R}, sup_{j\geq n}{u_j} > m\Rightarrow (\exists k \geq n,u_k}> m)

Pour m=1, on a pour tout n, sup_{j\geq n}{u_j} > 1
alors :\exists k \geq n,u_k}> 1

Posté par
astroq123re : limitesup et inegalite 13-03-18 à 22:57

limsup_n u_n=lim_{n \rightarrow +\infty}{sup_{k\geq n}}=inf_{n}sup_{k\geq n}

Posté par
jsvdbre : limitesup et inegalite 13-03-18 à 23:20

Tu compliques beaucoup trop
Si tu veux utiliser la définition pure de la borne sup, et tu as le droit, il faut faire comme ceci (démonstration directe) :

On suppose qu'il existe un L > 1 tel que  \forall n \in \N,~L= \sup ~\{u_k~/~k \geq n\}=A_n.
Soit donc n \in \N.
On dit alors que L est un sup, c'est-à-dire :

- L est un majorant de A_n donc tous les éléments de A_n sont plus petits que L (mais cette partie là ne nous intéresse pas)
- L est le plus petit des majorants, c'est-à-dire que si je prends \ell quelconque strictement plus petit que L, alors \ell ne majore plus A_n, c'est-à-dire qu'il existe un élément de A_n soit plus grand que \ell

On prend alors \ell = 1 < L et c'est fini : pour tout n entier, il existe u_{\varphi(n)} \geq 1

Posté par
astroq123re : limitesup et inegalite 14-03-18 à 10:51

oui, c'est plus simple que l'implication que j'ai ecrit, on peut remarquer que vous l'avez expliqué en utilisant le language mathematiques, et c'est plus simple,

merci beaucoups pour votre aide


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