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Limitez l'étude des fonctions

Posté par macgyver640 (invité) 18-12-06 à 16:15

Limitez l'étude des fonctions f(x) =cos x et g(x) =2cos 3x
entre 0 et  2 pi  ^pour déterminer leurs racines et leurs extréma avant de tracer les deux graphes dans un même repère.

QQ'un peut m'aider?????

édit Océane : niveau renseigné

Posté par macgyver640 (invité)Limitez l'étude des fonctions 18-12-06 à 16:19

bon, comme je vois ,

il me maque  extrema de 2cos 3x

Posté par ptitjean (invité)re : Limitez l'étude des fonctions 18-12-06 à 16:19

peut etre si tu dis bonjour et s'il te plait...

Posté par macgyver640 (invité)re : Limitez l'étude des fonctions 18-12-06 à 16:23

Bien le bonjour ,ptijean
désolé pour mon manque de courtoisie ,(inqualifiable )
mais je suis un peu stessé par le manque de temps  pour
parfaire la prépa de mon exam ?
Peux tu m'aider

Posté par ptitjean (invité)re : Limitez l'étude des fonctions 18-12-06 à 16:39

yep,

par périodicité des deux fonctions (f(x+2k)=f(x) avec k (de même pour g))  on voit que l'étude sur [0, 2[ est suffisante.

Pour les racines
f(x)=0
cos(x)=O
x=k/2 avec k impair dans
Or x est aussi dans [0, 2[
Donc les solutions sont x=/2 et x=3/2

g(x)=0
2cos(3x)=0
cos(3x)=0
3x=k/2 avec k impair dans
x=k/6 avec k impair dans
Or x est aussi dans [0, 2[
Donc les solutions sont : /6, /2, 5/6, 7/6, 3/2, 11/6.

Pour les extremums :
les fonctions sinusoïdales (sin(x) et cos(x)) sont toujours comprises entre -1 et 1
Ici, f(x)=1 pour x=O (maximum) et f(x)=-1 pour x= (minimum)
et g(x)=2 pour x=0, x=2/3, x=4/3 (maximum) et g(x)=-2 pour x=/3, x= et x=5/3

Ptitjean

Posté par macgyver640 (invité)Limitez l'étude des fonctions 18-12-06 à 16:45

Bien le bonjour ,ptijean, je sais pas qui tu es mais ta rigueur et ta politesse me laisse pantois!!
désolé pour mon manque de sociabilité et politesse
mais de grace peux tu m'aider car je n'ai plus beaucoup de temps!!!!

Posté par ptitjean (invité)re : Limitez l'étude des fonctions 18-12-06 à 16:59

je veux bien t'aider mais quelles sont tes nouvelles questions ?

Je crois t'avoir donné les racines et extremums de tes deux fonctions dans mon post précédent.

Au niveau des extremums, pour être rigoureux, on peut dire que :
si M majore (respectivement minore) une fonction f, c'est à dire que quelque soit x, f(x)M (respectivement f(x)M), et qu'il existe a tel que f(a)=M, alors M est un maximum de f (respectivement minimum)
Dans notre cas, quelque soit x, cos(x) est compris entre -1 et 1.
Or pour les deux fonctions, ces valeurs sont atteintes sur [O, 2[ pour les valeurs que je t'ai donné auparavant.
Donc ce sont bien des extremums.

Ptitjean

Posté par macgyver640 (invité)re : Limitez l'étude des fonctions 18-12-06 à 17:12

Mille merci
mais je pense que je ne suis pas dans le bon secteur,
je suis élève de 5 ième en belgique ,donc juste avant la terminal en france
et là j'ai pas encore compris les racines , un peu plus les extrémum ,mais si vous avez encore un peu de temps à m'accorder :"je vous promets d'être poli", pour me les expliquer.Est ce possible?

Posté par ptitjean (invité)re : Limitez l'étude des fonctions 18-12-06 à 17:28

de rien.

Alors une racine d'une fonction est une valeur qui annule la fonction.
si a est une racine de f(x), alors f(a)=0.

Par exemple, les racines de f(x)=x²-3x+2 ?
On cherche donc les valeurs x tel que f(x)=0
x²-3x+2=0
On remarque qu'on peut factoriser.
(x-1)(x-2)=0
Donc les valeurs x=1 et x=2 sont les racines de f(x).

Pour les extremums, ce sont le maximum et le minimum d'une fonction.
Bien faire attention entre maximum et majorant.
En fait, un majorant M de f(x) est tel que pour tout x, f(x)M
Le maximum M de f(x) est un majorant qui est atteint, c'est a dire qu'il existe un valeur x tel que f(x)=M.
Pour te donner un exemple, prenons la fonction f(x)=-x².
le carré étant toujours positif, -x² est toujours négatif.
Donc la valeur M=2 par exemple est un majorant. donc pour tout x, -x²<2.
Mais ce n'est pas un maximum, car l'équation -x²=2 n'a pas de solutions, et donc M=2 n'est jamais atteint.
Par contre, M=0 est un majorant qui est le maximum, atteint pour x=0.

Rq1: il existe des fonctions qui sont majorées mais qui n'ont pas de maximums.
exemple : f(x)=1/x sur ]-, 0[
On voit clairement que f(x)<0 car x<0. Donc M=0 majore la fonction sur l'intervalle.
Cependant ce n'est pas un maximum, car 1/x n'est jamais nul. On remarque que la limite en - de f(x) est nulle, c'est a dire que f se rapproche de 0 sans jamais l'atteindre...

Rq2: ce qui a été dit sur le majorant/maximum est valable pour le minorant/minimum (en inversant correctement les inégalités)

Voilà j'espère que tu as compris et que j'ai été clair.
N'hésites pas à demander plus d'infos.

Ptitjean

Posté par macgyver640 (invité)re : Limitez l'étude des fonctions 18-12-06 à 17:37

Un grand merci a vous ,si seulement mon prof pouvait etre aussi claire dans ses explications que vous .En tous cas si je reussis mon examen de demain se sera en grosse partie grace à vous encore merci
Au revoir GG

Posté par ptitjean (invité)re : Limitez l'étude des fonctions 18-12-06 à 17:40

au revoir,

et y'a pas de quoi



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