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Limtes

Posté par
Samsco 19-05-20 à 18:51

Bonjour j'ai besoin de votre aide svp

Exercice:

1. Démontrer que :
\lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{x²}=\dfrac{1}{2}

2.En déduire les limites suivantes

a) \lim_{x \to 0}\dfrac{x^3}{1-\cos x} \\ \\ b) \lim_{x \to 0}\dfrac{\sin²x}{\cos x-1} \\ \\ c) \lim_{x \to 0}\dfrac{\cos²x-1}{x.\tan x} \\ \\ d) \lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{ 1-\cos x}}{\sin x} \\ \\

Réponses:

1) \dfrac{1-\cos x}{x²}=\dfrac{2.\sin²(x/2)}{(2.x/2)²}=\dfrac{\sin²(x/2)}{2.(x/2)²}=\dfrac{1}{2}*\dfrac{\sin(x/2)}{x/2}*\dfrac{\sin(x/2)}{x/2} \\ \\ \lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{x²}=\dfrac{1}{2}

2. Je ne vois pas comment deduire

Posté par
carpediemre : Limtes 19-05-20 à 18:56

salut

peut-être en prenant l'inverse ...

Posté par
Samscore : Limtes 19-05-20 à 19:07

carpediem @ 19-05-2020 à 18:56

salut

peut-être en prenant l'inverse ...


Comme ça :

\dfrac{x^3}{1-\cos x}=\dfrac{1}{\frac{1}{x}(\frac{1-\cos x}{x²})}=\dfrac{x}{\frac{1-\cos x}{x²}}

Posté par
vhamre : Limtes 19-05-20 à 19:19

Bonjour,

Par exemple en utilisant cos(x) = 1-2sin2(x/2)
Puis limite de sin(x)/x qui est donné dans le cours...

Posté par
vhamre : Limtes 19-05-20 à 19:24

Question 1 : je n'avais pas vu que la réponse était donnée, j'ai donné une solution "instinctive"

Posté par
Samscore : Limtes 19-05-20 à 20:33

vham @ 19-05-2020 à 19:24

Question 1 : je n'avais pas vu que la réponse était donnée, j'ai donné une solution "instinctive"

Ah d'accord

Posté par
carpediemre : Limtes 19-05-20 à 20:49

Samsco @ 19-05-2020 à 19:07

Comme ça :   \dfrac{x^3}{1-\cos x}=\dfrac{1}{\frac{1}{x}(\frac{1-\cos x}{x²})}=\dfrac{x}{\frac{1-\cos x}{x²}}
par exemple ...

j'aurai simplement écrit \dfrac {x^3} {1 - \cos x} = x \times \dfrac {x^2} {1 - \cos x}

sachant que le quotient est l'inverse de celui du 1/ et qu'il ne pose aucun pb ... tout comme le produit restant ...

Posté par
Samscore : Limtes 19-05-20 à 21:32

\dfrac{x^3}{1-\cos x}=x×\dfrac{x²}{1-\cos x} \\ \\ \lim_{x \to 0}\dfrac{x^3}{1-\cos x}=\lim_{x \to 0}(x×\dfrac{x²}{1-\cos x})=0 \\ \\ Car~\lim_{x\to 0}x=0~~et~~\lim_{x \to 0}\dfrac{x²}{1-\cos x}=2

Posté par
Samscore : Limtes 19-05-20 à 21:48

\dfrac{\sin²x}{\cos x-1}=\dfrac{\sin²x}{x²}*\dfrac{x²}{\cos x-1}=-\dfrac{\sin²x}{x²}*\dfrac{x²}{1-\cos x}=-\dfrac{\sin x}{x}*\dfrac{\sin x}{x}*\dfrac{x²}{1-\cos x} \\ \\ \lim_{x \to 0}\dfrac{\sin²x}{\cos x-1}=\lim_{x \to 0}-\dfrac{sin x}{x}*\dfrac{\sin x}{x}*\dfrac{x²}{1-\cos x}=-2 \\ \\ Car~\lim_{x \to 0}-\dfrac{\sin x}{x}=-1~~et~~\lim_{x \to 0}\dfrac{x²}{1-\cos x}=2

Posté par
Samscore : Limtes 19-05-20 à 23:36

c) \dfrac{\cos²x-1}{x.\tan x}=x*\dfrac{\cos x-1}{x²}*\dfrac{\cos x+1}{\tan x}=-x*\dfrac{1-\cos x}{x²}*\dfrac{\cos x(\cos x+1)}{\sin x}=-\dfrac{x}{\sin x}*\dfrac{1-\cos x}{x²}*\cos x(\cos x+1) \\ \\ \lim_{x \to 0}\dfrac{\cos²x-1}{x.\tan x}=-1 \\ \\ Car~\lim_{x \to 0}-\dfrac{x}{\sin x}=-1~~,~~\lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{x²}=1/2~~et~~\lim_{x \to 0}\cos x(\cos x+1)=2

Posté par
Samscore : Limtes 20-05-20 à 17:55

Alors , est ce que ce que j'ai fais jusque-là est bon?

Posté par
Samscore : Limtes 21-05-20 à 15:37

Posté par
Priamre : Limtes 22-05-20 à 22:16

Oui, c'est bon.

Posté par
Samscore : Limtes 23-05-20 à 00:04

Pour la derniere , qu'est ce que je peux faire ?

Posté par
larrechre : Limtes 23-05-20 à 08:21

Bonjour,

Multiplier et diviser par \sqrt{1+\cos x} ?

Posté par
Priamre : Limtes 23-05-20 à 11:09

Ou multiplier et diviser par x² (pour " déduire").

Posté par
Samscore : Limtes 25-05-20 à 16:42

larrech @ 23-05-2020 à 08:21

Bonjour,

Multiplier et diviser par \sqrt{1+\cos x} ?

OK

\dfrac{\sqrt{1-\cos x}}{\sin x}=\dfrac{\sqrt{1-\cos²x}}{\sin x}*\dfrac{1}{\sqrt{1+\cos x}}

Ensuite , je fais quoi?

Posté par
Samscore : Limtes 25-05-20 à 16:45

Priam @ 23-05-2020 à 11:09

Ou multiplier et diviser par x² (pour " déduire").


Ça donne :

\dfrac{\sqrt{1-\cos x}}{\sin x}=\dfrac{\sqrt{1-\cos x}}{x²}*\dfrac{x²}{\sin²x}

Voilà , comment cela pourrait me permettre de déduire ?

Posté par
larrechre : Limtes 25-05-20 à 17:09

@ Samsco

Ne me dit pas que tu as oublié que 1-\cos^2 x=\sin^2x, je ne te croirais pas...

Mais attention, on en prend la racine carrée.

Posté par
larrechre : Limtes 25-05-20 à 17:25

"Ne me dis pas..."

Posté par
Samscore : Limtes 25-05-20 à 18:05

larrech @ 25-05-2020 à 17:09

@ Samsco

Ne me dit pas que tu as oublié que 1-\cos^2 x=\sin^2x, je ne te croirais pas...

Mais attention, on en prend la racine carrée.


Oui oui , je sais mais si je poursuis cette voie , ça serait faux car l'énoncé demande de trouver cette limite seulement à partir de :

\lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{x²}=\dfrac 1 2

Posté par
larrechre : Limtes 25-05-20 à 18:21

Ce ne serait pas "faux", mais ce n'est pas effectivement ce qui est demandé.

Tu pars de \dfrac{1-\cos x}{x²}.

Comme le numérateur est toujours positif, tu peux en prendre la racine carrée...

Posté par
Samscore : Limtes 25-05-20 à 18:37

D'accord

\dfrac{\sqrt{1-\cos x}}{\sin x}=\dfrac{\sqrt{1-\cos²x}}{\sin x}*\dfrac{1}{\sqrt{1+\cos x}}=\dfrac{\sqrt{\sin²x}}{\sin x}*\dfrac{1}{\sqrt{1+\cos x}}=\dfrac{|\sin x|}{\sin x}*\dfrac{1}{\sqrt{1+\cos x}}

Posté par
larrechre : Limtes 25-05-20 à 18:54

Oui, et donc...?

Posté par
Samscore : Limtes 25-05-20 à 20:09

\lim_{x \to 0 \atop x<0}\dfrac{|\sin x|}{\sin x}*\dfrac{1}{\sqrt{1+\cos x}}=\lim_{x \to 0 \atop x<0}-\dfrac{\sin x}{\sin x}*\dfrac{1}{\sqrt{1+\cos x}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \\ \\ \lim_{x \to 0 \atop x>0}\dfrac{|\sin x|}{\sin x}*\dfrac{1}{\sqrt{1+\cos x}}=\lim_{x \to 0 \atop x>0}\dfrac{\sin x}{\sin x}*\dfrac{1}{\sqrt{1+\cos x}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Posté par
larrechre : Limtes 25-05-20 à 21:05

Oui.

Posté par
Samscore : Limtes 25-05-20 à 21:35

larrech @ 25-05-2020 à 21:05

Oui.

D'accord merci !


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