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linéarisation

Posté par
wanowan
06-04-21 à 13:16

Bonjour,
Voici l'énoncé :
On sait que mL''(t)=-mg sin (t)
on sait aussi que ''(t)=-(g/l)sin (t)
et aux conditions initiale : (0)=0 et '(0)=0
Enfin pour un petit : sin ()=

Ecrire l'équation linéarisée et vérifier que : (t)=Acos((g/L) * t + ) où A et


Pour ce qui est de la linéarisation je n'ai pas trop d'idée et pour retrouver l'expression j'ai calculé le discriminant de  mL''(t)+mgsin(t) =
et j'ai delta = -4 m2Lg <0
Donc x1=-i(4m²Lg)/2mL
et x2=+i(4m²Lg)/2mL
après je fais et/2mL(Acos(((4m²Lg)/2mL)t+Bsin((4m²Lg)/2mL)t)
En faisant t=0 je m'approche un petit peu mais je ne trouve pas la solution demandée...
Que dois-j efaire ?
merci

Posté par
malou Webmaster
re : linéarisation 06-04-21 à 13:30

Bonjour wanowan
quel est ton véritable profil, car celui-ci indique "terminale", et tu postes un peu tous niveaux ? merci pour ta réponse et la modification de ton profil éventuellement

Posté par
wanowan
re : linéarisation 06-04-21 à 13:44

je suis en prépa. mon profil est modifié

Posté par
GBZM
re : linéarisation 06-04-21 à 14:31

wanowan @ 06-04-2021 à 13:16

aux conditions initiale : (0)=0 et '(0)=0


Bonjour,

Tu es sûr que l'énoncé dit ça ? Parce que si initialement le pendule est au repos dans la position d'équilibre stable, il ne risque pas de se passer grand chose.

Posté par
wanowan
re : linéarisation 06-04-21 à 14:54

bonjour,

Effectivement je me suis trompé c'est (0) = /2 et alpha prime =0

Posté par
lafol Moderateur
re : linéarisation 06-04-21 à 23:07

Bonjour
ne pas simplifier par m quand il est en facteur dans toute l'équation, ce n'est déjà pas très habile
ne pas reconnaître que \sqrt{4m^2} =2m, ça ne l'est guère non plus ...
ensuite tu parles de "discriminant", mais pour quel trinôme ? je n'en vois aucun ...
et pour terminer, A\cos t + B\sin t peut se mettre sous la forme C\cos(t+\varphi)

Posté par
wanowan
re : linéarisation 07-04-21 à 15:16

Bonjour
Merci pour les indications
je retrouve la frome : y=(Acos(g/L)+B sin( g/L))e0.
Donc quelque chose d'équivalent a : A cos t +B sin t
Mais je ne vois pas comment le mettre sous la forme C cos (t+phy) c'est une formule de trigo a admettre ?

Posté par
matheuxmatou
re : linéarisation 07-04-21 à 16:14

non !

a\;\cos(t)+b\;\sin(t) = \sqrt{a^2+b^2} \times \left(\dfrac{a}{ \sqrt{a^2+b^2}}\;\cos(t)+\dfrac{b} {\sqrt{a^2+b^2}}\;\sin(t)\right)

\dfrac{a}{ \sqrt{a^2+b^2}}\quad\text{et}\quad\dfrac{b}{ \sqrt{a^2+b^2}}
sont deux nombres dont la somme des carrés vaut 1, donc il existe ]-;+] tel que

\dfrac{a}{ \sqrt{a^2+b^2}}=\cos(\varphi)\quad\text{et}\quad\dfrac{b}{ \sqrt{a^2+b^2}}=\sin(\varphi)

en remplaçant :

a\;\cos(t)+b\;\sin(t) = \sqrt{a^2+b^2} \times \left(\cos(\varphi)\;\cos(t)+\sin(\varphi)\;\sin(t)\right)=  \sqrt{a^2+b^2}\times\cos(t-\varphi)

Posté par
etniopal
re : linéarisation 07-04-21 à 16:20

    Si A et B sont des réels  et r := (A² + B²)1/2  est > 0  ,  A + iB est un complexe de module r  donc de la forme  r.exp(is)  pour un certain  réel s .
    Alors Acos(t) + Bsin(t)  = r
(cos(t)cos(s) + rsin(t)sin(s)) = r.cos(t - s)  pour tout t .

Posté par
wanowan
re : linéarisation 07-04-21 à 16:49

ah oui d'accord merci beaucoup à vous 2 pour la démonstration.

pour ce qui est de la linéarisation je ne vois pas trop comment commencer, je ne sais même pas quelle équation linéariser : celle la

Citation :
mL''(t)=-mg sin (t)
ou celle la :
Citation :
''(t)=-(g/l)sin (t)


merci pour votre aide en tout cas

Posté par
matheuxmatou
re : linéarisation 07-04-21 à 17:00

à mon avis il y a un gros problème de compréhension et de recopiage de l'énoncé !

la question devait plutôt être :

écrire l'équation différentielle linéaire dont la fonction alpha est solution

et las linéarisée

Posté par
lafol Moderateur
re : linéarisation 07-04-21 à 17:02

c'est pas comme si c'était la même .... ouvre les yeux, un peu ! (bon, à ta décharge, le "ell" est écrit tantôt en minuscule, tantôt en majuscule ...)

Posté par
lafol Moderateur
re : linéarisation 07-04-21 à 17:03

c'est du vocabulaire de physicien : linéariser = remplacer sin a par a ...

Posté par
matheuxmatou
re : linéarisation 07-04-21 à 17:06

bref

l'équa diff en question est donc

L y" + g y = 0

et pour résoudre l'équation caractéristique

L r² + g = 0

est-il vraiment nécessaire de sortir la grosse Bertha du discriminant ?



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