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linéarisation: explication de la formule

Posté par
Taiga 19-12-15 à 11:54

Bonjour,
Ok, je l'admets je pose une question peut-être un peu ridicule mais je bloque sincèrement.
Voilà, je dois linéariser (tan(t))^2.

Je sais que tan=sin/cos
Donc après avoir utilisé les formules du cours j'obtiens:

((e^it)-(e^(-it))) ^2 ÷ (i*(e^it)+(e^(-it)))^2

je sais que le résultat de la linéarisation de tan^2 est:

(cos(2t)-1)÷(cos(2t)+1)
selon un cours (que j'ai trouvé sur un livre sans l'explication).

Voilà ma question:
on sait que i^2=(-1)
pourquoi, je trouve donc que la linéarisation de tan^2=(-1).

Où me suis-je trompée?
Pouvez-vous m'éclairer s'il-vous-plaît ?
Merci d'avance.

Posté par
Jedoniezhre : linéarisation: explication de la formule 19-12-15 à 12:00

Bonjour,

Je ne sais pas où est ton erreur car ta méthode est bonne.
Je vais regarder.

Posté par
Taigare : linéarisation: explication de la formule 19-12-15 à 12:03

Je vous remercie d'avance.

Posté par
Jedoniezhre : linéarisation: explication de la formule 19-12-15 à 12:08

cos^2x=(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2})^2=\frac{1}{2}\times \frac{(e^{ix}+e^{-ix})^2}{2}=\frac{1}{2}\times \frac{e^{2ix}+2+e^{-2ix}}{2}=\frac{1}{2}(cos2x+1)\\\\ sin^2x=(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2i})^2=-\frac{1}{2}\times \frac{(e^{ix}+e^{-ix})^2}{2}=-\frac{1}{2}(cos2x-1)


Et en faisant la fraction tanx=\frac{sinx}{cosx}tu retombes bien sur ton résultat trouvé.

Posté par
Jedoniezhre : linéarisation: explication de la formule 19-12-15 à 12:10

... au signe prêt.

Posté par
Taigare : linéarisation: explication de la formule 19-12-15 à 12:12

ok donc il y a une erreur sur le livre.
Je te remercie!!

Posté par
Jedoniezhre : linéarisation: explication de la formule 19-12-15 à 12:26

Citation :
je trouve donc que la linéarisation de tan^2=(-1)

Attention, ce n'est pas -1 le résultat.

Pour t'en convaincre ==>

Posté par
Taigare : linéarisation: explication de la formule 19-12-15 à 13:05

Jedoniezh @ 19-12-2015 à 12:10

... au signe prêt.


Donc c'est le bon résultat mais ... négatif ???

Posté par
Taigare : linéarisation: explication de la formule 19-12-15 à 13:06

Jedoniezh @ 19-12-2015 à 12:26

Citation :
je trouve donc que la linéarisation de tan^2=(-1)

Attention, ce n'est pas -1 le résultat.

Pour t'en convaincre ==>


(confirmation de mon erreur donc...)

Posté par
Jedoniezhre : linéarisation: explication de la formule 19-12-15 à 13:08

Quelle est clairement ta question ?

Posté par
Jedoniezhre : linéarisation: explication de la formule 19-12-15 à 13:10

Le bon résultat est :

tan^2x=-\dfrac{cos2t-1}{cos2t+1}=\dfrac{1-cos2t}{cos2t+1}

Posté par
Taigare : linéarisation: explication de la formule 19-12-15 à 13:18

Je te remercie.

Posté par
Jedoniezhre : linéarisation: explication de la formule 19-12-15 à 13:25

Tu dois retomber sur ce résultat en partant de mon post de 12:08

Posté par
Jedoniezhre : linéarisation: explication de la formule 20-12-15 à 09:05

Il y a 2 choses qu'il faut que bien distinguer pour linéariser :
   - les coefficients dits binomiaux, et ça tu les as avec le triangle de Pascal,
   - les puissances qui s'appliquent aux 2 termes a et b et qui croissent pour l'un, quand elles décroissent pour l'autre.

Exemple :

(a+b)^2=1a^2b^{2-2}+2a^{1}b^{2-1=1}+1a^{2-2=0}b^{2-0}

Les coefficient devant tes termes sont donnés par le triangle de Pascal.

Regardons par exemple pour (a+b)^6 et occupons-nous pour l'instant uniquement des coefficients binomiaux, sans se soucier des puissances.

1
1   1
1   2    1
1   3    3   1
1   4    6    4   1
1   5   10  10  5  1
1   6   15  20 15 6  1 ==> (a+b)^6=1a^?b^?+6a^?b^?+15a^?b^?+20a^?b^?+15a^?b^?+6a^?b^?+1a^?b^?

Donc ça te donne cela pour l'instant :

(a+b)^6=a^?b^?+6a^?b^?+15a^?b^?+20a^?b^?+15a^?b^?+6a^?b^?+a^?b^?

A présent, ton a de "départ" va avoir une puissance de 6, laquelle "descendra d'un cran" à chaque nouvel a^?b^?  quand tu vas de gauche à droite (sens du développement).

Tu obtiens donc :

(a+b)^6=a^6b^?+6a^5b^?+15a^4b^?+20a^3b^?+15a^2b^?+6a^1b^?+\underbrace{a^0}_{=1}b^?\\\\=a^6b^?+6a^5b^?+15a^4b^?+20a^3b^?+15a^2b^?+6a^1b^?+b^?

Maintenant, ton b de "départ" va avoir une puissance de 0, laquelle "augmentera d'un cran" à chaque nouvel a^?b^?  quand tu vas de gauche à droite (sens du développement).

D'où :

(a+b)^6=a^6\underbrace{b^0}_{=1}+6a^5b^1+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6a^1b^5+b^6\\\\=a^6+\underbrace{6a^5b^1}_{=6a^5b}+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+\underbrace{6a^1b^5}_{=6ab^5}+b^6

Donc :

\boxed{(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6}

Attention, si tu as :

(a-b)^n

tu alternes une fois sur 2 les signes + et -.

Exemple :

(a-b)^6=a^6-6a^5b+15a^4b^2-20a^3b^3+15a^2b^4-6ab^5+b^6


Exemple :

cos^4x=(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2})^4=\frac{1}{2^3}\times \frac{(e^{ix}+e^{-ix})^4}{2}=\frac{1}{8}\times \frac{\textcolor{red}{e^{4ix}}+\textcolor{blue}{4e^{2ix}}+\textcolor{green}{6}+\textcolor{blue}{4e^{-2ix}}+\textcolor{red}{e^{-4ix}}}{2}=\frac{1}{8}(\textcolor{red}{cos(4x)}+\textcolor{blue}{4cos(2x)}+\textcolor{green}{3})

sin^4x=(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i})^4=\frac{1}{2^3\times i^4}\times \frac{(e^{ix}+e^{-ix})^4}{2}=\frac{1}{8}\times \frac{\textcolor{red}{e^{4ix}}-\textcolor{blue}{4e^{2ix}}+\textcolor{green}{6}-\textcolor{blue}{4e^{-2ix}}+\textcolor{red}{e^{-4ix}}}{2}=\frac{1}{8}(\textcolor{red}{cos(4x)}-\textcolor{blue}{4cos(2x)}+\textcolor{green}{3})

Exemple : sin^5(x)

Triangle de Pascal pour les coefficients binomiaux :

1
1   1
1   2    1
1   3    3   1
1   4    6    4   1
1   5   10  10  5  1

Variations des puissances par valeurs de 2 (valeur de 2 uniquement par ce qu'on a affaire à des exponentielles)

5  3  1  1  3  5

sin^5x=(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i})^5=\frac{1}{(2i)^4}\times \frac{e^{5ix}-5e^{3ix}+10e^{ix}-10e^{-ix}+5e^{-3ix}-e^{-5ix}}{2i}=\frac{1}{16}(sin(5x)-5sin(3x)+10sinx)

Posté par
lediletantexre : linéarisation: explication de la formule 20-12-15 à 10:09

Bonjour;


on sait que la dérivée de

$\left( {\tan t} \right)^\prime   = 1 + \tan ^2 t = \frac{1}{{\cos t^2 }}$

une façon de retrouver la relation entre

${\tan^2 t}$ et

${\cos ^2t}$


alors

$\begin{array}{l} \\ \tan ^2 t = \frac{1}{{\cos t^2 }} - 1 = \frac{{1 - \cos t^2 }}{{\cos t^2 }} \\ \\ \cos 2t = \cos ^2 t - \sin ^2 t = 2\cos ^2 t - 1 \\ \\ \cos ^2 t = \frac{{1 + \cos 2t}}{2} \\ \\ 1 - \cos ^2 t = \frac{{1 - \cos 2t}}{2} \\ \\ \tan ^2 t = \frac{1}{{\cos t^2 }} - 1 = \frac{{1 - \cos t^2 }}{{\cos t^2 }} = \frac{{\frac{{1 - \cos 2t}}{2}}}{{\frac{{1 + \cos 2t}}{2}}} = \frac{{1 - \cos 2t}}{{1 + \cos 2t}} \\ \\ \end{array}$

Posté par
Taigare : linéarisation: explication de la formule 20-12-15 à 11:37

Bonjour,
Merci beaucoup mais comment doit-on faire la différence avec la proprièté de Moivre Laplace??

Posté par
Jedoniezhre : linéarisation: explication de la formule 20-12-15 à 11:53

Posté par
Taigare : linéarisation: explication de la formule 20-12-15 à 12:15

Bonjourlediletantex Merci Beaucoup !!!
Mais une question...

lediletantex @ 20-12-2015 à 10:09

Bonjour;


on sait que la dérivée de

$\left( {\tan t} \right)^\prime   = 1 + \tan ^2 t = \frac{1}{{\cos t^2 }}$

une façon de retrouver la relation entre

${\tan^2 t}$ et

${\cos ^2t}$


alors

$\begin{array}{l} \\ \tan ^2 t = \frac{1}{{\cos t^2 }} - 1 = \frac{{1 - \cos t^2 }}{{\cos t^2 }} \\ \\ \cos 2t = \cos ^2 t - \sin ^2 t = 2\cos ^2 t - 1 \\ \\ \cos ^2 t = \frac{{1 + \cos 2t}}{2} \\ \\ 1 - \cos ^2 t = \frac{{1 - \cos 2t}}{2} \\ \\ \tan ^2 t = \frac{1}{{\cos t^2 }} - 1 = \frac{{1 - \cos t^2 }}{{\cos t^2 }} = \frac{{\frac{{1 - \cos 2t}}{2}}}{{\frac{{1 + \cos 2t}}{2}}} = \frac{{1 - \cos 2t}}{{1 + \cos 2t}} \\ \\ \end{array}$


tu as commencé par la dérivé de tan.  Donc ce serait pas plutôt la dérivé de tan^2 de t que tu as calculé

Posté par
Taigare : linéarisation: explication de la formule 20-12-15 à 12:18

Jedoniezh @ 20-12-2015 à 11:53


Non je n'ai rien dit. Désolé merci beaucoupJedoniezh

Posté par
Jedoniezhre : linéarisation: explication de la formule 20-12-15 à 12:40

As-tu d'autres questions concernant la linéarisation ?

Posté par
Taigare : linéarisation: explication de la formule 20-12-15 à 13:14

non je vous remercie

Posté par
Jedoniezhre : linéarisation: explication de la formule 20-12-15 à 13:17

Au plaisir, et bon courage.


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