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linéarisation trigo .

Posté par
kamikaz 04-03-20 à 16:19

Bonjour ,

1) x est un nombre réel .

À l'aide de la formule de linéarisation, démontrer que :

Cos^{4}x=\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{2}cos.  2x +\dfrac{1}{8}cos.  4x.

2) En déduire :

cos^{4}(\dfrac{\pi}{8})+cos^{4}(\dfrac{3\pi}{8})+cos^{4}(\dfrac{5\pi}{8})+cos^{4}(\dfrac{7\pi}{8})

Posté par
sanantonio312re : linéarisation trigo . 04-03-20 à 16:21

Bonjour,
Tu as certainement commencé.
Qu'as-tu trouvé?
Où bloques-tu?

Posté par
kamikazre : linéarisation trigo . 04-03-20 à 20:51

Bonsoir ,

Alors

cos^{4}x=(cos   x²)²

Or (cos x²)=\dfrac{1+cos. 2x}{2}  

D'où
cos^{4}x=(\dfrac{1+cos. 2x}{2})²

Je bloque pour la suite ...

Merci par avance.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : linéarisation trigo . 04-03-20 à 20:55

Bonsoir,

Citation :
la formule de linéarisation
C'est quoi cette formule ?

Posté par
Pirhore : linéarisation trigo . 04-03-20 à 21:12

Bonsoir,

Citation :
Je bloque pour la suite ...

développe le carré et c'est presque terminé

Posté par
kamikazre : linéarisation trigo . 04-03-20 à 21:18

Bonsoir ,

D'accord Pirho

Sylvieg cos².  a=\dfrac{1+cos. 2a}{2} c'est çà la formule de linéarisation.

Posté par
kamikazre : linéarisation trigo . 04-03-20 à 21:32

cos^{4}x=(\dfrac{1+cos. 2x}{2})²=(\dfrac{cos.  2x}{2}+\dfrac{1}{2})²

Quand je développe çà je trouve : \dfrac{3}{4}+2cos. x.

Posté par
Pirhore : linéarisation trigo . 04-03-20 à 21:34

drôle de façon d'utiliser les identités remarquables !

revois ton calcul

Posté par
kamikazre : linéarisation trigo . 04-03-20 à 21:52

Voilà ,

(\dfrac{1}{2})²+2×\dfrac{1}{2}×cos.  x+ cos ² x=\dfrac{1}{4}+cos. x+\dfrac{1}{2}+cos.  x=\dfrac{3}{4}+2 cos. x

Posté par
Pirhore : linéarisation trigo . 04-03-20 à 22:03

ils sont passés où les termes "en 2x" ?

Posté par
kamikazre : linéarisation trigo . 04-03-20 à 22:24

Oups désolé .

Alors

(\dfrac{1}{2}+\dfrac{cos. 2x}{x})²=\dfrac{1}{4}+\dfrac{cos². x-sin². x}{x}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{\dfrac{1+cos. 2x}{2}-\dfrac{1-cos2x}{2}}{4}

Est ce que je suis sur la voie ?

Posté par
Pirhore : linéarisation trigo . 04-03-20 à 22:29

non!

pourquoi faire apparaître sin^2(x) alors que tu n'a des cos

garde plutôt tes cos en 2x et fait apparaître cos(4 x)

Posté par
Pirhore : linéarisation trigo . 04-03-20 à 22:32

en plus j'avais pas vu mais ton dénominateur x

Posté par
Pirhore : linéarisation trigo . 04-03-20 à 22:40

et plus grave (a+b)²  

Posté par
kamikazre : linéarisation trigo . 05-03-20 à 07:32

Désolé , j'ai été tellement épuisé par ce DM ...

Au fait y a des étapes que j'ai sauté dans mon développement .

Bon .. enfin je reprends .

cos ^4x=(cos². x)²

Or cos²x=\dfrac{1+cos. 2x}{2}

Donc cos^4x=(\dfrac{1+cos. 2x}{2})²=(\dfrac{1}{2}+\dfrac{cos. 2x}{2})²


Alors cos^4x=\dfrac{1}{4}+2×\dfrac{1}{2}×(\dfrac{cos. 2x}{2})+(\dfrac{cos. 2x}{2})²

Pour les \dfrac{cos. 2x}{2}

Est ce que je peux simplifier par 2.

Posté par
Pirhore : linéarisation trigo . 05-03-20 à 07:42

Citation :
Est ce que je peux simplifier par 2.

si ta demande concerne  
Citation :
\dfrac{cos. 2x}{2}
c'est une horreur

Posté par
Sylvieg Moderateurre : linéarisation trigo . 05-03-20 à 07:44

Non !
Et ça n'est pas la première fois que je te répète que \; cos(ax) a cos(x) .
Seules les fonctions linéaires vérifient ce genre d'égalité.


Citation :
garde plutôt tes cos en 2x et fait apparaître cos(4 x)

Posté par
sanantonio312re : linéarisation trigo . 05-03-20 à 07:45

Non, pas de simplification par 2 pour cos(2x)/2
En revanche, oui pour 2(1/2)

Posté par
kamikazre : linéarisation trigo . 05-03-20 à 07:52

D'accord

Merci

Alors je fais apparaître cos 4x

\dfrac{9}{4}+\dfrac{cos2x}{2}+2cos 4x

Posté par
Pirhore : linéarisation trigo . 05-03-20 à 07:58

faux!

repars de cos^4x=\dfrac{1}{4}+2×\dfrac{1}{2}×(\dfrac{cos. 2x}{2})+(\dfrac{cos. 2x}{2})²

et montre ton calcul

Posté par
kamikazre : linéarisation trigo . 05-03-20 à 08:09

cos^4x=\dfrac{1}{4}+2×\dfrac{1}{2}×(\dfrac{cos. 2x}{2})+(\dfrac{cos. 2x}{2})²=\dfrac{1}{4}+\dfrac{cos. 2x}{2}+\dfrac{cos² 2x}{4}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{cos. 2x}{2}+\dfrac{\dfrac{1+cos. 4x}{2}}{4}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{cos. 2x}{2}+2+2cos. 4x=\dfrac{9}{4}+\dfrac{cos. 2x}{2}+2cos. 4x

Posté par
Sylvieg Moderateurre : linéarisation trigo . 05-03-20 à 08:13

\dfrac{\dfrac{C}{2}}{4} = \dfrac{C}{2} \times \dfrac{1}{4}

Posté par
Pirhore : linéarisation trigo . 05-03-20 à 08:15

erreur dans la transformation de

\dfrac{\dfrac{1+ cos(4x)}{2}}{4}

Posté par
kamikazre : linéarisation trigo . 05-03-20 à 08:24

Oups désolé .

Alors \dfrac{3}{8}+\dfrac{cos. 2x}{2}+\dfrac{cos. 4x}{8}=\dfrac{3}{8}+\dfrac{cos. 2x}{2}+\dfrac{cos. 4x}{8}=\dfrac{8(cos. 2x)+2(cos. 4x)}{16}=\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{2}cos. 2x+\dfrac{1}{8}cos. 4x.

Enfin çà y est ...

Posté par
kamikazre : linéarisation trigo . 05-03-20 à 08:27

Oups

Oups désolé .

Alors \dfrac{3}{8}+\dfrac{cos. 2x}{2}+\dfrac{cos. 4x}{8}=\dfrac{3}{8}+\dfrac{cos. 2x}{2}+\dfrac{cos. 4x}{8}=\dfrac{3}{8}}+\dfrac{8(cos. 2x)+2(cos. 4x)}{16}=\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{2}cos. 2x+\dfrac{1}{8}cos. 4x

Posté par
kamikazre : linéarisation trigo . 05-03-20 à 08:31

Si c'est juste alors ne vous en faites pas pour 2)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : linéarisation trigo . 05-03-20 à 08:32

A quoi sert cette réduction au même dénominateur ???

\dfrac{C}{d} = \dfrac{1}{d}\times C

Il va falloir revoir le calcul sur les fractions.

Posté par
kamikazre : linéarisation trigo . 05-03-20 à 08:47

D'accord mais j'avais pas fait attention à celà .

Merci beaucoup.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : linéarisation trigo . 05-03-20 à 08:50

Citation :
j'avais pas fait attention à celà .
C'est quand même révélateur de lacunes importantes sur ce type de calculs.

Posté par
kamikazre : linéarisation trigo . 05-03-20 à 12:42

Un peu mais y'a aussi la fatigue causé par mes DM.


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