Citation :
Actions de groupes, équivalence orbitale, équivalence mesurée, nombres de Betti L2.
Damien Gaboriau, Ecole normale supérieure de Lyon
Une série de 4 exposés à l'ENS salle W de 17h à 18h
Lundi 5, 12, 26 février et 5 mars 2007

Lorsqu'un groupe agit sur un espace, il définit une relation d'équivalence "être dans la même orbite".

Supposons que le groupe est dénombrable discret et qu'une mesure finie est préservée. On oublie alors l'action et le groupe, pour ne retenir que la relation d'équivalence "mesurée" et on se demande

"de quoi se souvient-elle ?"

"Peut-on retrouver le groupe qui l'a produite ?''

"Mieux encore, peut-on retrouver l'action ?''.


Murray et von Neumann en 1936 associent à une telle action une algèbre de von Neumann, une algèbre d'opérateurs sur l'espace de Hilbert, qui ne dépend que de la relation d'équivalence. Ils ouvrent alors la voie à une théorie aux multiples ramifications en théorie des groupes, en probabilités, en logique, et bien sûr en algèbres de von Neumann.


Ces développements ont connu des périodes d'intense activité mathématique, au cours des années 60, puis des années 80 et enfin au cours des dernières années, avec à chaque fois des progrès considérables qui semblaient inabordables à la génération précédente.


On expliquera quelques résultats classiques frappants et quelques nouveaux invariants. Ce sera en particulier l'occasion d'un petit parcours dans la zoologie des groupes discrets et d'une présentation des nombres de Betti L2, qui sont des dimensions généralisées au sens de von Neumann de certains espaces de Hilbert.