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ln(x) et f(xy)=f(x)+f(y)
Bonjour à tous, j'ai un petit problème avec cet exercice de maths...
Votre aide est la bienvenue!
Les fonctions de la forme f(x) = k*ln(x) transforment les produits en sommes. On peut se demander s'il y en a d'autres.
Soit f une fonction définie et dérivable sur R, vérifiant pour tous nombres x et y la relation [E] : f(xy)=f(x)+f(y)
1) Démontrer que, si f(0) existe, alors f est la fonction nulle.
2) On écarte ce cas désormais, et on cherche f définie et dérivable sur ]0; +∞[ vérifiant la relation [E].
a) Démontrer que nécessairement f(1)=0
b) En supposant x>0 fixé et y>0 variable, démontrer que xf'(xy)=f'(y)
En déduire que, pour tout nombre x>0, xf'(x) = f'(1)
3) On pose f'(1) = k
a) Démontrer que, pour tout x appartient à ]0; +∞[, f'(x) = k/x
b) Démontrer que f est la fonction f(x) = k*ln(x)
4) Conclure
Voila voila, merci beaucoup!
J'ai déjà trouvé la 3)a) et 3)b) mais je ne suis pas sûr pour les autres!
Merci!
Aroush
il serait bien de savoir compter ...
f(0*0) = f(0)+ f(0) <=> f(0) = 2f(0)
t'en connaît beaucoup des nombres égaux à leur double ?
ahhhhh je suis bête!! parfait merci beaucoup! oui mais ça pourrait être f(0*x) = f(0) + f(x) et là ce n'est pas certain qu'elle soit nulle..
ben on en conclut que f(x) = 0 ... pour tout x ....
mais en fait j'avais mal lu la question 1/
en fait c'est ce qu'il faut faire ...
euh je n'ai pas trop compris, si on fait f(0*x) = f(0) + f(x), comment prouver que f s'annule ? puisqu'il y a toujours f(x)
Il faut bien voir que c'est vrai car la relation f(xy)=f(x)+f(y) est valable pour n'importe quel réel x et y.
Pour la question 2, essaie de voir comment, en choisissant x et y, faire apparaître du f(1)
f(xy)=f(x)+f(y)
Tu sais que y>0 est variable et que x>0 est fixé.
Ainsi, tu vas dériver (ce qui est permis) par rapport à y, forcément.
Que vaut f'(xy) ? Avant de répondre à cette question, que vaut d'après toi f'(x) ?
f(xy)' = f'(x) + f'(y)
donc f(xy)' = xf'(xy) = f'(x)+ f'(y) mais comme x est une constante, sa dérivée vaut 0 donc xf'(xy) = f'(y) ?
non c'était juste pour être sûr 
et donc après, comme f'(1)=0 et que f(x)' = xf'(x) = 0 alors f'(1) = xf'(x)
Là non : f(1)=0 n'implique pas que f'(1)=0 !
Exemple : f(x)=1-x donc f'(x)=-1 et f(1)=0 et f'(1)=-1
Il suffit de prendre y=1 dans la relation xf'(xy)=f'(y)
ah oui, mais c'est tout simple en fait... Merci beaucoup!
Pour la 3), j'ai fait :
xf'(x) = f'(1)
xf'(x) = k
f'(x) = k/x
et après, f est une primitve de f' donc si f'(x) = k*1/x alors f(x) = k*ln(x)
Et la constante d'intégration ?
f(x)=kln(x)+C avec C une constante réelle.
Comment tu fais pour la déterminer ?
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