Bonjour,

Quel sens donnes-tu à x! ici ?

Nicolas

Bonjour fusionfroide

x! pour x réel, qu'est-ce? (s'il s'agit d'un prolongement de type faudrait le dire!

Je pose la même question que Camélia. C'est un bon début !
Le jour où je donnerai les mêmes... réponses, champagne !


Bonjour, Camélia.

Même de très loin, les grands esprits se rencontrent! Bonjour, Nicolas (enfin, je ne sais pas si c'est le jour)

^Bonsoir...

Bonjour

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C'est une piste ?

Salut infophile
D'abord il faut dire Bonsoir! Ensuite, il y a un problème de définition, car si 0

Ah oui j'ai pris des entiers

Bonsoir

Salut tout le monde

Oui c'est bien ça Camélia, la fonction gamma.

Voici le lien :

Bonjour à tous

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Je crois qu'on peut s'en tirer avec un changement de variable ainsi que la formule des compléments mais celle-ci n'étant pas triviale, je me demande s'il n'y aurait pas plus simple.

Salut kaiser,

Cet exo requiert normalement un niveau maths spé

Bon OK, alors oublions ça !

Kaiser

On peut oublier le blanqué aussi

Sinon le posteur du défi avait mis un indice : penser à Stirling...

Au fait kaiser, t'aurais pas un petit exo sympa à proposer ?

Non, je n'en ai pas en tête pour l'instant.
Sinon, j'essaie de voir pour Stirling !

Kaiser

ok

Bonjour

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Je pense être proche de la solution en utilisant Stirling mais il y a encore un terme qui m'embête (surement une erreur de calcul). Pour me rassurer, j'ai utilisé l'autre méthode (en utilisant la formule des compléments) pour voir à quelle limite on aboutirait et pour pouvoir comparer. D'ailleurs, la limite que je trouve avec cette méthode est . Si j'arrive à m'en sortir avec Stirling, je posterai ce que j'aurai fait.

Salut kaiser

ok pas de problème

_{PS : j'ai eu mes partiels}

Félicitations !

Kaiser

merci

Voyons, il ne faut pas rougir comme ça !

Kaiser

Bravo, fusionfroide

merci Nicolas

ça y est, j'y suis arrivé ! (ouf ! )
Voici en blanké la solution que je propose (pour ceux qui voudraient encore chercher) :

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Je propose les deux méthodes (avec la formule des compléments et avec Stirling).
D'abord, je justifie l'existence de cette intégrale. La fonction est continue sur ]0,1] et strictement positif (car c'est l'intégrale d'une fonction strictement positive)
Par ailleurs, pour tout x > 0, on a , donc lorsque x tend vers 0, tend vers 1, d'où .
Par suite, , donc l'intégrale existe.

Calcul de :

1ère méthode : Utilisation de la formule des compléments

Rappel de cette formule : si x est dans ]0,1[, alors



En effectuant le changement de variable x=1-t dans I, on a :



Ainsi,




Posons

on a



donc



donc, en faisant des changements de variable dans les intégrales, on a :



Dans la dernière intégrale, on effectue le changement de variable et on obtient

, d'où
Finalement, on trouve :



d'où



2ème méthode : utilisation de la formule de Stirling


Celle-ci m'aura bien fait souffrir car je l'avais mal utilisée au départ (du coup, je tombais sur une résultat incohérent, à tel point que j'ai du vérifier mes calculs une bonne vingtaine de fois, sans exagération).

Rappel de la formule :

(et non pas comme je l'avais fait au début ! ).

Bref !
Cette formule nous donne des informations sur le comportement de la fonction gamma pour les grandes valeurs de x, seulement l'intégrale ne fait intervenir qu'un ensemble borné valeurs. Qu'à cela ne tienne : on peur relier le comportement de la fonction pour des petites valeurs à celui pour les grandes valeurs, en utilisant la formule :



Ou encore



L'idée est alors de faire intervenir un paramètre entier n que l'on fera tendre vers l'infini (c'est la que Stirling interviendra).

Soit donc un entier naturel n, alors :



donc



Or,



et




Posons et




Or

donc



Maintenant, on étudie le comportement de chaque terme lorsque n tend vers l'infini.

1) Comportement de

D'après la formule de Stirling,
Cette intégrale va tendre vers la même limite.
Pour le montrer, on utilise la formule de la moyenne :

il existe compris entre n et n+1 tel que .

En particulier, lorsque n tend vers l'infini, aussi et donc tend vers

donc tend vers

on peut donc écrire




2) Comportement de



Or



donc




3) Comportement de





Finalement, en mettant tout ensemble, on a :



D'où le résultat !
Enfin !
Allez bonne lecture, sur ce je vais me coucher !

Je crois que tu as mérité une bonne nuit de repos. C'est impressionnant.

Nicolas
^{(qui vient de finir son petit déj')}

Merci Nicolas !
bon petit dej' ?

Bonsoir

Je viens de découvrir la solution de Kaiser, je n'ai rien compris mais en effet c'est impressionant

Sauf que sur le site en question ils trouvent

Salut Kévin et merci !

Dans ce cas, ça m'inquiète un peu puisque j'ai utilisé deux méthodes différentes, justement pour pouvoir comparer.
Je revérifie mes calculs.

Kaiser

L'ami Maple a l'air d'être d'accord avec moi.



Cela dit, je crois avoir compris. En fait, on a tous les deux raisons !
Le problème est que la notation x! peut prêter à confusion et en fait, ce n'est pas égal à mais plutôt à (d'ailleurs, tu remarqueras dans ma démo, que j'avais fait référence à ce problème en utilisant Stirling).
En effet, la fonction est définie pour x > 0 par .
Cette fonction généralise la fonction car si n est un entier naturel n, on a (ça se calcule avec des IPP et en établissant une relation de récurrence), du coup, même si cette notation n'est pas adéquate, on aurait en fait .
Ainsi, on a .

Le -1 vient de l'intégration du log entre 0 et 1.

Kaiser

D'accord, et bien bravo !

Merci !