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ln et les fonctions puissances

Posté par
DarWinEvolution
17-04-20 à 19:13

Bonjour,
J'ai du mal à trouver une réponse à ma question (j'espère quelle n'existe pas déjà sur le forum) : n'y a-t-il pas une façon d'écrire la fonction logarithme népérien avec une fonction puissance ?
Par exemple quelque chose comme ça : ln(x) = \lim_{n\rightarrow 0} x^n
Je sais que ce que j'ai écrit est faux mais n'y a-t-il pas une formulation correcte qui soit dans la même veine !?

Posté par
verdurin
re : ln et les fonctions puissances 17-04-20 à 19:42

Bonsoir,
c'est une bonne question.
Le résultat est décevant : il n'y en a pas.

Mais, localement, on peut en trouver dans le sens suivant :
autour d'un point donné on peut trouver une suite de polynômes (P_n)_{n\in\N} tels que \lim_{n\to\infty}P_n(x)=\ln(x) pour tout x suffisamment proche de la valeur donnée.
Le suffisamment proche dépendant de la valeur donnée.

Posté par
DarWinEvolution
re : ln et les fonctions puissances 17-04-20 à 21:19

N'y a-t-il donc aucune "explication" au fait qu'en dérivant et en "primitivant" n'importent quelles fonctions algébriques on reste dans les fonctions algébriques SAUF en "primitivant la puissance -1" ou on tombe alors sur une fonction logarithme (fonction transcendante) ?

Posté par
verdurin
re : ln et les fonctions puissances 17-04-20 à 22:31

Je ne sais pas exactement ce que tu appelles « fonction algébrique ».

Mais si on se limite aux fonctions f_n\ :\ x\mapsto x^n avec n\in\Z on a f'_n(x)=nx^{n-1}.

Ce qui rend évident le fait que les primitives de x^{-1} ne peuvent pas être des puissances de x.

Dans un genre voisin les primitives de x\mapsto \dfrac1{1+x^2} sont les fonctions x\mapsto K+\arctan x qui ne s'écrivent pas non plus avec des combinaisons de puissance de x\ldots

Posté par
DarWinEvolution
re : ln et les fonctions puissances 17-04-20 à 23:13

Je n'ai peut-être pas la bonne définition de "fonctions algébriques" mais j'y incluais les puissances fractionnaires...
Et effectivement il y a aussi (pour moi) un mystère à ce que la primitive de la fonction réciproque d'un quotient de fonctions périodiques (!) qui semblent parfaitement inalgébriques (?) soit aussi simple que x  \longmapsto \frac{1}{1+x^2}



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