Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Fonction LogarithmeTopics traitant de Fonction Logarithme [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

ln et les fonctions puissances

Posté par
DarWinEvolution 17-04-20 à 19:13

Bonjour,
J'ai du mal à trouver une réponse à ma question (j'espère quelle n'existe pas déjà sur le forum) : n'y a-t-il pas une façon d'écrire la fonction logarithme népérien avec une fonction puissance ?
Par exemple quelque chose comme ça : ln(x) = \lim_{n\rightarrow 0} x^n
Je sais que ce que j'ai écrit est faux mais n'y a-t-il pas une formulation correcte qui soit dans la même veine !?

Posté par
verdurinre : ln et les fonctions puissances 17-04-20 à 19:42

Bonsoir,
c'est une bonne question.
Le résultat est décevant : il n'y en a pas.

Mais, localement, on peut en trouver dans le sens suivant :
autour d'un point donné on peut trouver une suite de polynômes (P_n)_{n\in\N} tels que \lim_{n\to\infty}P_n(x)=\ln(x) pour tout x suffisamment proche de la valeur donnée.
Le suffisamment proche dépendant de la valeur donnée.

Posté par
DarWinEvolutionre : ln et les fonctions puissances 17-04-20 à 21:19

N'y a-t-il donc aucune "explication" au fait qu'en dérivant et en "primitivant" n'importent quelles fonctions algébriques on reste dans les fonctions algébriques SAUF en "primitivant la puissance -1" ou on tombe alors sur une fonction logarithme (fonction transcendante) ?

Posté par
verdurinre : ln et les fonctions puissances 17-04-20 à 22:31

Je ne sais pas exactement ce que tu appelles « fonction algébrique ».

Mais si on se limite aux fonctions f_n\ :\ x\mapsto x^n avec n\in\Z on a f'_n(x)=nx^{n-1}.

Ce qui rend évident le fait que les primitives de x^{-1} ne peuvent pas être des puissances de x.

Dans un genre voisin les primitives de x\mapsto \dfrac1{1+x^2} sont les fonctions x\mapsto K+\arctan x qui ne s'écrivent pas non plus avec des combinaisons de puissance de x\ldots

Posté par
DarWinEvolutionre : ln et les fonctions puissances 17-04-20 à 23:13

Je n'ai peut-être pas la bonne définition de "fonctions algébriques" mais j'y incluais les puissances fractionnaires...
Et effectivement il y a aussi (pour moi) un mystère à ce que la primitive de la fonction réciproque d'un quotient de fonctions périodiques (!) qui semblent parfaitement inalgébriques (?) soit aussi simple que x  \longmapsto \frac{1}{1+x^2}


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1592 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !