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log et suites
Bonjour à tous , je me permets de poser ma question ici car j'aurais besoin d'aide pour un exercice de maths , j'ai fais la plupart des questions mais je ne suis pas sure de mes réponses. Je vous remercie à l'avance pour toute aide apporté.
Soit f la fonction définie sur ]0;+infini[ par f(x)= 1/x +ln(x)
On désigne par C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O;i;j)
1)Déterminer les limites de f aux bornes de sont intervalle
2)Etudier les variation de f
En déduire que ,pour tout réel strictement positif x, f(x)>1
3)a)Soit g la fonction définie sur ]0;+infini[ par g(x)=f(x)-x
Soit D la droite d'équation y=x
Etudier les variations de g
b)Calculer g(1) et en déduire le signe de g(x) quand x décrit ]0;+infini[
c) Interpréter pour C et D les résultats du b
4)On considère la suite (Un) définie par : U0=2 et pour tout entier naturel n, Un+1=f(Un)
a) Montrer par récurrence , que pour tout n , Un>1
b) En déduire que la suite (Un) est décroissante en utilisant les résultats de la question 3b
c)Montrer que la suite (Un) est convergente et déterminer sa limite l
Et VOICI MES REPONSES :
1) En 0
lim ln(x)= 0
lim 1/x = + infini donc lim de f(x)=+ infini par somme
En +infi
lim ln(x)= + infini
lim 1/x = 0 donc lim de f(x)=+ infini par somme
2) J'ai fait les calculs nécessaires et je trouve que f est décroissante sur ]0;1[ et croissante sur ]1;+infini[
Je ne sais pas comment en déduire que f(x)>1
3) J'ai plutôt bien réussir cette question
4)a) Un+1=f(Un)
Un>1
=f(Un)>f(1)>1
=f(Un)>1
donc (Un+1) > 1
alors Un>1
b)Dans la question 3)b) nous avons vu que f(x)-x >0 sur ]0;1[ et f(x)-x<0 sur ]1;+infini[
Donc f(Un)-Un<0
Un+1-Un<0
Un+1<Un
Donc la suite est décroissante
c) je n'arrive pas à répondre
En effet c'est une erreur de ma part , Ducoup on tombe sur une forme indéterminée , comment puis-je la retrouver .
Et le minimum de la fonction est 1
Posez Vers quelle valeur tend
si
tend vers 0
Comment s'écrit alors en fonction de z ?
Cherchez ensuite la limite.
1/x tend vers plus l'infini lorsque x tend vers 0
Mais quel lien je peux faire entre z et la fonction f ?
De passage
Tu peux aussi réduire au même dénominateur et utiliser au numérateur la limite de xln(x) en
Si je fais cela , on aurait
En 0
lim 1/x= + infini
lim (xln(x))/x= 0 donc la limite de f est + infini ?
Si vous utilisez la réponse de jean3 vous n'avez pas mais
le numérateur tend alors vers 1 et le dénominateur vers 0 donc le quotient vers
Solution beaucoup plus élégante que ce que je proposais
on obtient bien aussi
Merci beaucoup , je comprends mieux . Pour la suite de mon exercice comment je peux faire pour répondre à la question 4)c ?
Question 4 a) il ne faut pas mettre de signe = et rédiger
4)a) Un+1=f(Un)
initiation ?
Un>1
f(Un)>f(1)=1
f(Un)>1
donc (Un+1) > 1
alors Un>1
4 b) on a la stricte décroissance
c) suite bornée
Oui je l'ai bine rédigé dans mon brouillons je trouvais que c'était long de tout mettre ici .
Mais j'ai toujours pas compris comment je peut déterminera la limite
Je n'ai pas de valeur pour x , la seule valeur que j'ai utilisé pour calculer cette différence est 1
On a une suite strictement décroissante minorée par 1 donc elle converge
Soit la limite, on doit donc avoir
donc
peu sûr de la rédaction
D'accord merci beaucoup. Juste une dernière question , j'ai pas compris ce qu'il faut déduire dans la question 2.
Vous avez étudié les variations de
J'ai fait les calculs nécessaires et je trouve que f est décroissante sur ]0;1[ et croissante sur ]1;+infini[
Vous pouvez donc en déduire que
Que vaut alors ce minimum ?
Il y a une erreur dans le texte, l'inégalité doit être large, sinon la proposition est fausse.
Ce minimum est également égal à 1
Dans le texte c'est supérieur ou égal , je sais pas si il y a une réelle différence
Oui, il y a une différence
si vous dites pour tout alors cette proposition est fausse puisqu'elle n'est pas vraie pour
car on a
Il suffit d'un élément pour que la proposition soit fausse
si vous dites pour tout alors cette proposition est vraie
Puisque l'on a montré que la fonction admettait un minimum en et qu'icelui valait 1.
Des variations de vous déduisez l'existence du minimum sur
et comme il vaut 1 toutes les images de cet ensemble seront donc supérieures à 1. C'est bien ce que l'on demandait en 2.
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