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log et suites

Posté par
Ilhhh
30-03-22 à 13:46

Bonjour à tous , je me permets de poser ma question ici car j'aurais besoin d'aide pour un exercice de maths  , j'ai fais la plupart des questions mais je ne suis pas sure de mes réponses. Je vous remercie à l'avance pour toute aide apporté.

Soit f la fonction définie sur ]0;+infini[ par f(x)= 1/x +ln(x)
On désigne par C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O;i;j)
1)Déterminer les limites de f aux bornes de sont intervalle
2)Etudier les variation de f
En déduire que ,pour tout réel strictement positif x, f(x)>1
3)a)Soit g la fonction définie sur ]0;+infini[ par g(x)=f(x)-x
Soit D la droite d'équation y=x
Etudier les variations de g
b)Calculer g(1) et en déduire le signe de g(x) quand x décrit ]0;+infini[
c) Interpréter pour C et D les résultats du b
4)On considère la suite (Un) définie par : U0=2 et pour tout entier naturel n, Un+1=f(Un)
a) Montrer par récurrence , que pour tout n , Un>1
b) En déduire que la suite (Un) est décroissante en utilisant les résultats de la question 3b
c)Montrer que la suite (Un) est convergente et déterminer sa limite l

Et VOICI MES REPONSES :

1) En 0
lim ln(x)= 0
lim 1/x = + infini  donc lim de f(x)=+ infini par somme

En +infi
lim ln(x)= + infini
lim 1/x = 0         donc lim de f(x)=+ infini par somme

2) J'ai fait les calculs nécessaires et je trouve que f est décroissante sur ]0;1[ et croissante sur  ]1;+infini[
Je ne sais pas comment en déduire que f(x)>1

3) J'ai plutôt bien réussir cette question

4)a) Un+1=f(Un)
Un>1
=f(Un)>f(1)>1
=f(Un)>1
donc (Un+1) > 1
alors  Un>1

b)Dans la question 3)b) nous avons vu que f(x)-x >0 sur ]0;1[  et f(x)-x<0 sur  ]1;+infini[
Donc f(Un)-Un<0
           Un+1-Un<0
                  Un+1<Un
Donc la suite est décroissante

c) je n'arrive pas à répondre

Posté par
hekla
re : log et suites 30-03-22 à 14:00

Bonjour

\lim_{x\to 0} \ln x =-\infty limite à revoir

en +\infty oui

Sens de variation  oui

Quel est le minimum de la fonction ?

Posté par
Ilhhh
re : log et suites 30-03-22 à 14:08

En effet c'est une erreur de ma part , Ducoup on tombe sur une forme indéterminée , comment puis-je la retrouver .
Et le minimum de la fonction est 1

Posté par
hekla
re : log et suites 30-03-22 à 14:13

Posez z=\dfrac{1}{x} Vers quelle valeur tend z si x tend vers 0

Comment s'écrit alors \dfrac{1}{x}+\ln x en fonction de z ?

Cherchez ensuite la limite.

Posté par
Ilhhh
re : log et suites 30-03-22 à 14:23

1/x tend vers plus l'infini lorsque x tend vers 0
Mais quel lien je peux faire entre z et la fonction f ?

Posté par
hekla
re : log et suites 30-03-22 à 14:33

On fait le changement de variable

au lieu de \dfrac{1}{x} on a z et au lieu de x on a \dfrac{1}{z}. La fonction ne change pas.

Posté par
Ilhhh
re : log et suites 30-03-22 à 14:37

Et comment je peux déterminer la limite de la fonction avec cette nouvelle variable ?

Posté par
hekla
re : log et suites 30-03-22 à 14:40

en mettant z en facteur et croissance comparée

Posté par
jean3
re : log et suites 30-03-22 à 14:49

De passage
Tu peux aussi réduire au même dénominateur et utiliser au numérateur la limite de xln(x) en 0^{+}

Posté par
Ilhhh
re : log et suites 30-03-22 à 15:00

Si je fais cela , on aurait
En 0
lim 1/x= + infini
lim (xln(x))/x= 0  donc la limite de f est + infini ?

Posté par
jean3
re : log et suites 30-03-22 à 15:10

Tu obtiens :

\frac{1+x\ln x}{x}

Le numérateur tends vers 1 et le dénomitateur ?

Posté par
hekla
re : log et suites 30-03-22 à 15:12

Si vous utilisez la réponse de jean3  vous n'avez pas \dfrac{x\ln x}{x} mais

\dfrac{ 1+ x\ln x}{x}  le numérateur tend alors vers 1 et le dénominateur vers 0 donc le quotient vers +\infty

Solution beaucoup plus élégante que ce que je proposais

 z+\ln\dfrac{1}{z}=z -\ln z = z\left(\dfrac{1 -\ln z}{z}\right)

on obtient bien aussi +\infty

Posté par
Ilhhh
re : log et suites 30-03-22 à 15:48

Merci beaucoup , je comprends mieux . Pour la suite de mon exercice comment je peux faire pour répondre à la question 4)c ?

Posté par
hekla
re : log et suites 30-03-22 à 16:04

Question 4 a)  il ne faut pas mettre de signe = et rédiger

Citation :
4)a) Un+1=f(Un)
initiation ?
Un>1
f(Un)>f(1)=1
f(Un)>1
donc (Un+1) > 1
alors  Un>1


4 b)  on a la stricte décroissance

c) suite bornée

f(\ell)=\ell

Posté par
Ilhhh
re : log et suites 30-03-22 à 17:13

Oui je l'ai bine rédigé dans mon brouillons je trouvais que c'était long de tout mettre ici .
Mais j'ai toujours pas compris comment je peut déterminera la limite

Posté par
hekla
re : log et suites 30-03-22 à 17:18

Vous devez avoir à la limite   f(\ell)=\ell

or vous avez résolu f(x)=x ou f(x)-x=0

Que valait x ?

Posté par
Ilhhh
re : log et suites 30-03-22 à 17:21

Je n'ai pas de valeur pour x , la seule valeur que j'ai utilisé pour calculer cette différence est 1

Posté par
hekla
re : log et suites 30-03-22 à 17:25

On a bien f(1)=1  Comme la limite est unique !

Posté par
Ilhhh
re : log et suites 30-03-22 à 17:51

Donc je dois juste répondre que f(1)=1 et que donc c'est la limite

Posté par
hekla
re : log et suites 30-03-22 à 18:00

On a une suite strictement décroissante minorée par 1 donc elle converge

Soit \ell la limite, on doit donc avoir f(\ell)=\ell

f(1)=1 donc \ell=1

peu sûr de la rédaction

Posté par
Ilhhh
re : log et suites 30-03-22 à 18:38

D'accord merci beaucoup. Juste une dernière question , j'ai pas compris ce qu'il faut déduire dans la question 2.

Posté par
hekla
re : log et suites 30-03-22 à 19:00

Vous avez étudié les variations de f

Citation :
J'ai fait les calculs nécessaires et je trouve que f est décroissante sur ]0;1[ et croissante sur  ]1;+infini[


Vous pouvez donc en déduire que f admet un minimum en 1.
Que vaut alors ce minimum ?  

Il y a une erreur dans le texte, l'inégalité doit être large, sinon la proposition est fausse.

Posté par
Ilhhh
re : log et suites 30-03-22 à 21:06

Ce minimum est également égal à 1
Dans le texte c'est supérieur ou égal , je sais pas si il y a une réelle différence

Posté par
hekla
re : log et suites 30-03-22 à 21:40

Oui, il y a une différence
si vous dites pour tout x \in]0~;~+\infty[ \ f(x)>1   alors cette proposition est fausse puisqu'elle n'est pas vraie pour x=1 car on a f(1)=1

Il suffit d'un élément pour que la proposition soit fausse

si vous dites pour tout x \in]0~;~+\infty[ \ f(x)\geqslant 1   alors cette proposition est vraie
Puisque l'on a montré que la fonction admettait un minimum en x=1 et qu'icelui valait 1.

Des variations de f vous déduisez l'existence du minimum sur \R_+^*  et comme il vaut 1 toutes les images de cet ensemble seront donc supérieures à 1.  C'est bien ce que l'on demandait en 2.



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