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Niveau terminale
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logarithme et exponentiel

Posté par
Onyxandro
21-04-21 à 09:01

Bonjour, salut à tous
soit la fonction f définie sur ]0,1] par f(t)=tLn(t) +e^(t) -1
Etudier les variations de f et ses valeurs aux bornes
j'ai trouvé que f'(t) =1+Ln(t) + e^(t)
Mais je ne sais pas comment resoudre ce genre des équations, merci à votre aide

Posté par
Solay
re : logarithme et exponentiel 21-04-21 à 09:17

Bonjour, je pense que tu t'es trompé  lors de la dérivation :
f'(t) = t* [ 1/t] + exp(t) = t+exp(t)

Sauf erreur..

Posté par
Solay
re : logarithme et exponentiel 21-04-21 à 09:18

Pardon : 1 + exp(t)

Posté par
Solay
re : logarithme et exponentiel 21-04-21 à 09:30

Ah non oublie, t'avais juste :], Je dois être fatiguée :roll

Posté par
Onyxandro
re : logarithme et exponentiel 21-04-21 à 09:58

c'est normal🙂👍

Posté par
Solay
re : logarithme et exponentiel 21-04-21 à 10:03

xd, Onyxandro J'ai pas trouvé  malgré de nombreux essaies. .
J'espère que qqn pourra donner un coup de pouce.

Posté par
lake
re : logarithme et exponentiel 21-04-21 à 11:02

Bonjour,

Tu peux calculer la dérivée seconde et montrer qu'elle est positive sur ]0,1]

Donc que f' est croissante sur cet intervalle.

Calcul de la limite de  f' en 0 et f'(1) puis TVI pour f'

Posté par
Solay
re : logarithme et exponentiel 21-04-21 à 11:34

Si je comprends bien :
f''(x) = exp(x) + 1/x > 0 pour x appartenant a ]0;1]

f'(x) est donc croissante sur cette intervalle.

Limite de f'(x) quand x tend vers 0  : -infini
Limite de f'(x) quand x tend vers 1 : 1 + exp(1)

Par le TVI il existe une solution a : f'(x) = 0.

Mais je ne sais pas toujours la valeur de x.

Posté par
lake
re : logarithme et exponentiel 21-04-21 à 11:39

On ne la connaîtra pas si ce n'est une valeur approchée.
Et alors ? Appelons là \alpha et on aura le signe de f'(t) sur ]0,\alpha] et sur [\alpha, 1] donc les variations de f

Posté par
Solay
re : logarithme et exponentiel 21-04-21 à 12:02

Je vois, f'(t) <0 pour x appartenant a ]0;a] et f'(t) pour x appartenant a [a;1]
Mais l'exercice ne demande-t-il pas la valeur de a?

Posté par
Solay
re : logarithme et exponentiel 21-04-21 à 12:03

Solay @ 21-04-2021 à 12:02

Je vois, f'(t) <0 pour x appartenant a ]0;a] et f'(t)>0pour x appartenant a [a;1]
D'ou les variations de f(x)
Mais l'exercice ne demande-t-il pas la valeur de a?

Posté par
lake
re : logarithme et exponentiel 21-04-21 à 12:46

Citation :
Mais l'exercice ne demande-t-il pas la valeur de a?


On ne peut pas l'atteindre cette valeur : c'est l'unique racine de l'équation f'(t)=0 sur ]0,1]

Par contre, on peut en donner une valeur approchée par exemple par dichotomie.

Pour information, \alpha\approx 0.119

Posté par
Solay
re : logarithme et exponentiel 21-04-21 à 13:00

lake @ 21-04-2021 à 12:46

Citation :
Mais l'exercice ne demande-t-il pas la valeur de a?


On ne peut pas l'atteindre cette valeur


Je vois, c'est bizarre que l'exercice ne l'a pas précisé.
Onyxandro, J'espère que tu as la réponse maintenant :].


Merci lake

Posté par
lake
re : logarithme et exponentiel 21-04-21 à 13:01

De rien Solay

Posté par
Onyxandro
re : logarithme et exponentiel 21-04-21 à 17:07

il n'ya pas d'autre methode pour connaitre les variations de f sans qu'on calcule la derivée seconde de f? Merci beaucoup

Posté par
Onyxandro
re : logarithme et exponentiel 21-04-21 à 17:08

Est ce qu'il ya une methode pour resoudre une equation contenant exponentiel et logarithme?

Posté par
lake
re : logarithme et exponentiel 21-04-21 à 18:03

Bonjour Onyxandro,

Citation :
il n'y a pas d'autre méthode pour connaitre les variations de f sans qu'on calcule la dérivée seconde de f?


Quand le signe de f'(x) reste "mystérieux", on n'a pas vraiment le choix.
Il peut même arriver que le signe de f''(x) soit "mystérieux" lui aussi.
Auquel cas, on est obligé de calculer la dérivée troisième (... et ainsi de suite...).

Citation :
Est ce qu'il ya une méthode pour résoudre une équation contenant exponentiel et logarithme?


En général, ça se passe très mal (les équations comportant des logarithmes et la variable ou des exponentielles et la variable sont dans le même cas).
Il peut arriver quelques cas très particuliers où une solution saute aux yeux :

  \ln\,x-e^{x-1}+1=0

Mais c'est l'exception.

Je vois que j'ai du mal à convaincre. Quelqu'un peut passer derrière moi pour enfoncer le clou

Posté par
malou Webmaster
re : logarithme et exponentiel 21-04-21 à 19:12

Bonjour à tous les deux,

Citation :
Je vois, c'est bizarre que l'exercice ne l'a pas précisé.


non, non, cela n'est pas bizarre du tout
tu es en terminale maintenant et tu dois avoir cette idée en tête

parfois ce sera dériver une 2e voire une 3e fois, jusqu'au moment où tu sais étudier proprement le signe, puis tu "remontes"
une autre fois ce sera à toi d'introduire une fonction auxiliaire...

C'est un peu comme le raisonnement par récurrence dans un autre domaine. Tu l'as appris, tu dois l'avoir en tête quand tu bloques sur une démonstration dans le domaine des suites
On n'est pas obligé de dire dans l'énoncé la méthode à utiliser
Bonne soirée à tous les deux

Posté par
Solay
re : logarithme et exponentiel 21-04-21 à 20:32

malou @ 21-04-2021 à 19:12




tu es en terminale maintenant et tu dois avoir cette idée en tête



A quoi fait référence le cette ?

Posté par
malou Webmaster
re : logarithme et exponentiel 21-04-21 à 20:45

> Solay
ben il me semble qu'entre les explications de lake et les miennes,en lisant bien tout, tu vas trouver ...

Posté par
Onyxandro
re : logarithme et exponentiel 21-04-21 à 21:03

ok,j'ai compris merci beaucoup lake👍🙂



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