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logarithme et exponentielle
Bonjour à tous,
Voici mon énoncé:
1.a) Représenter graphiquement sur une calculatrice la courbe C de la fonction f définie sur 
par: f(x)=ln(x+1+e-x), la droite d d'équation y=-x et la courbe 
d'équation y=ln(x)
b) Emettre des conjectures sur f
2.a)Pour tout x>0 on pose u(x)=x+1+e-x
Montrer que u(x)> 0 pour tout réel x
b)En déduire le sens de variation de f
3.a)Montrer que pour tout réel x, f(x)=-x+ln(xex+ex+1)
b) En déduire la position de C par rapport à d
c)Déterminer la limite de (f(x)+x)) quand x tend vers -
. Interpréter graphiquement
4.a)Montrer que pour tout x>0,
0<f(x)-ln(x)<ln((x+2)/x)
b) En déduire la position de C par rapport à
c)Déterminer la limite en + de f(x)-ln(x)
Interpréter graphiquement.
J'ai donc réussi à faire les premières questions en revanche je suis bloqué sur la question 3.b), je ne comprend pas ce qu'il faut déduire de
f(x)=-x+ln(xex+ex+1)
De plus je ne comprends pas d'ou vient le ln((x+2)/2)
je trouve que f(x)-ln(x)=ln((x+1+e-x)/x)
Et encore une fois je ne comprends pas la 4.b) et ce qu'il faut déduire et comment le prouver
Merci beaucoup,
Bonne journée,
Amelimelo
3. Lorsqu'on a deux fonctions de x , f(x) et g(x), le signe de f(x) - g(x) indique si f(x) est supérieure ou inférieure à g(x).
On peut prendre ici pour f(x) la fonction de même nom et, pour g(x), - x (y = g(x) = - x est l'équation de la droite d).
Alors, f(x) - g(x) = . . . .
Donc d est en-dessous de C sur , mais comment faire pour la 4.a) et d'ou vient le ln((x+2)/2)?
de plus je ne comprends pas comment déterminer la limite en + car j'arrive à une forme indéterminé, quelqu'un peut-il m'aider?
merci beaucoup,
amelimelo
Bonjour.
3. a)
f(x) - y = f(x) - (-x) = f(x) +x = ln(xex + ex + 1 )
C est au dessus de d lorsque ln ( xex + ex + 1) > 0
soit xex + ex + 1 > 1
............
4. b) f(x)-ln(x)=ln((x+1+e-x)/x) = f(x)-ln(x)=ln((1+(1+e-x)/x)
puisque 1 + (1 +e-x)/x > 1 pour x > 0
alors ln((1+(1+e-x)/x) > 0
ln((x+2)/2) a été conçu pour les questions suivantes
montrer que ln((x+2)/2) - [ f(x) - lnx ] > 0
Donc ln(x) est en-dessous de C, mais je ne comprends pas comment utiliser le théorème des gendarmes. Je trouve que limite de f(x)-ln(x) quand x tend vers +=1
Donc est asymptote à f(x) sur 0;+
Mon raisonnement est juste??
Merci pour vos réponses,
Amelimelo
Non, pour moi, cette limite n'est pas 1, mais 0.
Quant à l'expression ln((x + 2)/2) , je pense qu'elle est erronée et qu'il faudrait lire ln((x + 2)/x) .
On a : 0<f(x)-ln(x)<ln((x+2)/x)
or (x+1)/x tend vers 1 en +
donc ln((x+2)/x) tend vers 0
par suite f(x) - lnx tend vers 0 ( gendarmes ou encadrement ou ordre )
C et " se rapprochent " quand x tend vers +
Je revient sur la 3.b) sur le coup en lisant les explications j'avais compris la méthode mais en le refaisant je ne comprends pas j'arrive donc à ex>-ex/x
Comment faire après??
Merci beaucoup
Amelimelo
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