f(x)=1/2 ln[(12-x)/x] +1

a)

rem pour dériver facilement:
f(x)=1/2[ln(12-x)-ln(x)]+1
d'ou
f'(x)=1/2[-1/(12-x)-1/x]
f'(x)=1/2[ (-x-12+x)/(x(12-x))]
f'(x)=6 / (x(x-12))

f decroit donc sur [0,12]

b)

le point I(6,1)

soit M et N deux points symetriques:
M(6+x,f(6+x)) et N(6-x,f(6-x))
on veut montrer que IM=-IN=NI en vecteur soit:
(6+x-6,f(6+x)-1)=(6-6+x,1-f(6-x))
soit (x,f(6+x)-1)=(x,1-f(6-x))

c'e'st vrai si f(6+x)-1=1-f(6-x)
c'est a dire f(6+x)+f(6-x)=2

or f(6+x)+f(6-x)=
f(x)=1/2 ln[(12-6-x)/(x+6)] +1+1/2 ln[(12-6+x)/(6-x)] +1
=2+1/2 ln[(6-x)/(x+6)]+ 1/2 ln[(6+x)/(6-x)]
=2+1/2ln[[(6-x)/(x+6)*(6+x)/(6-x)]=
2+ln(1)  =  2

c'est bon : I est centre de symletrie!!!!

c)

f(x)=0
ssi
f(x)=1/2 ln[(12-x)/x] +1=0
ln[(12-x)/x]=-2
(12-x)/x=exp(-2)
12-x=xexp(-2)
12=x(1+exp(-2))
x= 12/(1+exp(-2))   la solution

2)a)
la pente est donné par f'(x)=6 / (x(x-12)) (ou plutot la valeur
absolue...ca change pas grand chose, juste qu'on parlerai d'une
pente negative -30%...)

il faur rederiver:

(f')'=6*(2x-12)/[x^2(x-12)^2]
sur [2,6] (f')' est neg donc f' decroit
sur [6,10] (f')' est pos donc f' croit

si tu fait la tableau de variation, la pente est minimale pour x=6 soit
pente=f'(6)=1/(-6)= en abs = 16,6 %

elle est maximale pour x=2 ou pour x=10 (aux bornes)
en fait ici lka pennte est maximal aux deux bornes:
f'(2)=f'(10)=30%
ce qui prouve que la pente ne peut pas dépasser 30%

voila, bon ski !!
A+
guillaume

je ma suis mal exprimé,
dans l'etude de (f')' j'ai pris le signe opposé :

(f')'=6*(2x-12)/[x^2(x-12)^2]
sur [2,6] (f')' est neg donc f' decroit (en fait non)
sur [6,10] (f')' est pos donc f' croit (en fait non)


car j'etudie la valeur absolue de la pente, or cette pente est negative
(car la courbe descend) a toi de rectifier si tu veux mais alors
il faudra que tu dise la pente est -30% ou -16.6%

voila
AAAAAAAAAAAAAAA+
guillaume