Bonjour, j'ai un exercice vrai faux ou il faut justifier les réponses :

Exercice Vrai ou Faux:

Déterminer pour chaque cas si l'affirmation est vraie ou fausse. Justifier vos réponses.

1. Soit f(x)=xlnx pour tout x>0

A. f(0)=0

B. f(2x)=4lnx pour x>0

C. f(4)=4f(2)

D. f'(x)>0 <=> x>1

J'ai fais :

A.  vrai : f(0)=0ln0=0

B. faux : f(2x)=2xln2x=4x²ln=ln4x²

C. vrai : f(4)=4ln4=4ln2²=4*f(2) car f(2)=2ln2=ln2²

D. vrai : f'(x)=(xlnx)'=1+(1/x)=1/x >0  (mais que dois je mettre pour x>1  sil vous plait ? )

2. Soit la fonction f définie sur ]0;+inf[ par f(x)=(lnx)²

A. Pour tout x>0, f(x)=2lnx

B. Pour tout x>0, f(x)=1/x²

C. f est strictement croissante sur ]1;+inf[

J'ai fais :

A. faux:  f(x)=(lnx)²=lnx*lnx=ln(x+x)=ln(x²)

B. vrai : f'(x)=u'(x)/u(x)= ? je ne sait pas comment faire dériver (lnx)² dois je prendre lnx'=1/x puis mettre f'(x)=(1/x)/(lnx)²

C. faux : la fontion lnx est strictement croissante sur ]0;+inf[, sachant qu'elle est negative sur ]0;1[ et positive sur ]1;+inf[ de plus un carre est toujours positif donc (lnx)² est strictement croissante sur ]0;+inf[ et non sur ]1;+inf[

3. Soit f la fonction définie sur R par f(x)=x+ln(1+e^-x), c sa courbe représentative et d la droite d'équation y=x

A. f'(x)=1/(1+e^-x)

B. lim x->+inf  f(x)=+inf

C. lim x->+inf  f(x)=0

D. lim x->-inf  f(x)=0

E. c est au dessus de d

J'ai fais :

A. vrai : f'(x)=(x+ln(1+e^-x))'=1+(u'/u)=1+[(-e^-x)/(1+e^-x)]
(on met au meme denominateur )
=(1(1+e^-x)-e^-x)/1+e^-x=(1+(e^-x)-e^-x)/1+e^-x
(on supprime e^-x et -e^-x)
=1/(1+e^-x)

B. faux: lim x->+inf  f(x)=+inf
lim x->+inf  f(x)=(x+ln(1+e^-x))
lim x->+inf (x)= +inf
lim x->+inf (1+e^-x) on fait un changement de variable: e^-x=X
lim x->+inf (-e^-x)=lim x->-inf (e^X)=0
donc
lim x->+inf (1+e^-x)=(1+0)=1
im x->+inf (1+e^-x)=1
Par composition des limites
lim x->+inf  f(x)=(x+ln(1+e^-x))=+inf

C. faux : vu qu'on le demontre dans la B que dois je dire ? car lim x->+inf  f(x)=0 est faux

D. faux:  lim x->-inf  f(x)=0
lim x->-inf (x+(ln(1+e^-x))
lim x->-inf  (x)= -inf
lim x->-inf ln(1+e^-x)
on fait un changement de variable e^-x=X
lim x->-inf e^-x = lim x->+inf e^X=+inf
lim x->-inf (1+e^-x)=+inf
donc  lim x->-inf  (x+(ln(1+e^-x))= FI
comment dois je factoriser ? ou juste changer la forme de l'equation : e^-x=1/e^x
f(x)=(x+ln(1+e^-x))=x+ln(1+(1/x))
lim x->-inf x+ln(1+(1/x))
lim x->-inf  (x)= -inf
lim x->-inf  ln(1+(1/x))
lim x->-inf (1/x)=0
lim x->-inf  ln(1+(1/x))=1
lim x->-inf (x+ln(1+(1/x))=-inf

E. je ne sais pas quoi faire ni quoi dire pour cette question pour : c au dessus de d

4. La courbe c:y=xlx-x a une tangente parallèle a la droite d:y=x en son point d'intersection avec l'axe des abscisses.

dois je faire :
y=f'(x)(x-1)+f(x)?
y=1/(1+e^x)(x-1)+(x+ln(1+e^-x))

Merci beaucoup