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Logique 14

Posté par
bouchaib 22-10-24 à 18:12

Bonsoir ,
Montrer que :

  ((a,b,c)(R+*)3); (a2+b2) +(a2+c2)+(b2+c2)2 .(a+b+c).
Dans le membre de gauche la somme de deux carrés est sous radical à chaque fois; dans le membre de droite seul 2 est sous radical .
( LTX  ne marche pas pour l'instant pour moi. Merci ).

* Modération > titre modifié *
Je voudrais une piste car je suis bloqué.
Merci par avance.

  

Posté par
Zormuchere : Logique 22-10-24 à 18:25

Bonjour
Une bonne chose à faire avec ce genre d'inégalité est d'élever les deux membres au carré

Posté par
Pirhore : Logique 22-10-24 à 20:44

Bonjour,

personnellement, j'utiliserais plutôt "l'inégalité des moyennes" à chaque radical

Posté par
bouchaibre : Logique 22-10-24 à 22:27

Merci beaucoup.

Posté par
carpediemre : Logique 23-10-24 à 10:33

salut

une autre idée ... peut-être ...

en posant s = a + b + c $ et $ t = a^2 + b^2 + c^2

alors \sqrt{t - a^2} + \sqrt {t - b^2} + \sqrt {t - c^2} \ge 3 \sqrt t

il s'agit alors de montrer que \sqrt {a^2 + b^2 + c^2} \ge \sqrt 2 \dfrac {a + b + c} 3

le dernier quotient est s/3 qui est la moyenne des nombres a, b et c ... pour faire le lien avec la réponse précédente de Pirho

à voir ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Logique 23-10-24 à 10:58

Bonjour,
Encore une autre idée pas très éloignée non plus de celle de Pirho.

Écrire a+b+c = (1/2)\left( (a+b) + (a+c) + (b+c) \right)

Puis démontrer \sqrt{a^{2}+b^{2}} \geq (a+b)\sqrt{\frac{1}{2}}.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Logique 23-10-24 à 11:02

Et l'inégalité est vraie quel que soit le signe des trois réels a, b et c.

Posté par
bouchaibre : Logique 23-10-24 à 11:33

Merci encore.

Posté par
Pirhore : Logique 23-10-24 à 12:56

Bonjour à tous,

@ Sylvieg  : j'étais effectivement parti de

\sqrt{a^{2}+b^{2}} \geq (a+b)\sqrt{\frac{1}{2}} mais en considérant l'inéquation connue

en quelques lignes on obtient le résultat


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