Bonjour,
Cette piste n'est peut-être pas la plus simple.

Poser et

Ça revient à poser

Puis démontrer que est positif ou nul.

Merci.

Pour cette piste il me faut admettre que a=<1/2 .

En fait -1/2 < a < 1/2.

Merci et je ne m'en sors pas toujours .
Pardon .

Le calcul de n'est pas agréable...

salut

début de recherche :



donc

mais ça ne mène à rien ... enfin pour moi !!

autre proposition :

tout d'abord l'hypothèse implique que x et y appartiennent à l'intervalle [0, 1].



donc

le calcul de la dérivée de f avec ggb conduit à une fraction de numérateur :

après avoir factorisé par et effectué le changement de variable il vient :

et c'est là que je vois que

donc h s'annule en

le signe de h(t) est évident puis en remontant à f ' son signe est évident car f étant de la forme u/v a sa dérivée a donc un dénominateur positif

f admet donc un minimum en 1/4 et ce minimum est ... 25

bingo !!

(bon ce fut fastidieux et avec un gros coup de bol de voir et pouvoir factoriser h !!)


la proposition de Sylvieg sera probablement plus efficace ...

En fait étudier le signe de sans dériver se fait assez bien.
Remarquer qu'il y a égalité quand x = y = 1/4.

Poser z = x. On a alors x = z² et y = (1-z)².

Remplacer dans , réduire au même dénominateur.
Le numérateur est nul quand x = 1/4 ; donc quand z = 1/2.
Il se factorise par (2z-1) et même par (2z-1)².

Oui. Merci.

Bonsoir ,

autre proposition:

on a: (x+1/x) (y+1/y) 25 x+y+1- 24xy 0 : (*)

il suffit donc de prouver (*) :

soient  q ,  m  et  g (respectivement) les moyennes quadratique, arithmétique et géométrique  des réels positifs
x  et  y
on a : q m ,  m g  et   m=1/2
on a :  q m    x+y 1/2 : (1)  et   m g xy 1/16  : (2)

de (1)  et (2) , on déduit  (*)

_{* Modération >  Message édité en tenant compte du message suivant *}

x   au lieu de     :                                                                      
x

Bonsoir ,
Merci à toutes et à tous.
J'ai travaillé avec x =z²  donc y = (1-z)².
J'ai remplacé dans la proposition à droite de l'implication.  Puis j'ai calculé la différence avec 25.
Finalement j'ai obtenu :

   .

Le dénominateur est toujours positif et 8(2z-1)^2 du numérateur aussi  reste le signe du trinôme de seconde degré.
Il s'annule en -0,26...... et en 1,26.......
Donc la différence de départ est positive entre z ₁ et z₂. Or x et y appartiennent à l'intervalle [0,1]. Et donc l'implication est vraie : si  p est vraie , Q l'est aussi .
Merci pour tout .

Oui, mais pourquoi parler de P et Q ?

Pour le signe de -3z² +3z+1, on peut utiliser cette égalité :
-3z² +3z+1 = -3(z-1)(z+1) +1

Avec la méthode que j'ai proposée hier à 15h12, on est amené à factoriser par a² ; ce qui est plus facile que factoriser par (2z-1)².

Bonjour .
Merci professeure.
Pardon : si je développe  le membre de droite de l'égalité du dernier post, ne donne pas le trinôme de gauche de cette égalité.

Merci encore.

Tu as raison

Vous m'avez beaucoup aider à surmonter les difficultés de cet exercice et  dans d'autres précédemment.
Je vous en remercie beaucoup.

Avoir aidé ! Pardon.

-3z² +3z+1 = 3z(1-z) + 1
Et z(1-z) est positif.

De rien, l'exercice était intéressant

PS Pense à numéroter tes sujets ou donne leurs des titres plus précis.

Encore une autre méthode !
Sans outils sophistiqués.
Avec ces deux variables et , on a .


F est du signe de N = z² + t² + 1 - 24z²t².
N = (z+t)² - 2zt + 1 - 24(zt)² = 2(1 - zt - 12(zt)²)
F est nul quand x = y = 1/4 ; donc N est nul quand z = t = 1/2.
On peut donc factoriser 1 - zt - 12(zt)² par zt-1/4 ou aussi par 4zt-1 :
1 - zt - 12(zt)² = (4zt-1)(-3zt-1) = (1-4zt)(3zt+1)
F est donc du signe de 1-4zt = (z+t)² - 4zt = (z-t)².

Allez encore une autre avec seulement de l'analyse fonctionnelle de lycée.

Si x et y sont tels que sqrt(x) + sqrt(y) = 1
en multipliant par sqrt(x) - sqrt(y)
on a sqrt(x) - sqrt(y) = x - y
et donc x - sqrt(x) = y - sqrt(y).

Une analyse rapide de la fonction f définie par f(z) = z - sqrt(z) sur R+ montre qu'elle atteint son minimum global en z = 1/4, et que f(1/4) = -1/4, que f(0) = f(1) = 0, et que f est strictement croissante sur [1,+∞).
Le TVI nous dit que pour tout z ∈ [0,1/4], il existe un unique z'∈[1/4,1] tel que f(z) = f(z').

Appelons g la fonction ainsi définie, qui à z associe z'.
L'hypothèse et la symétrie évidente de l'énoncé reviennent à prendre x ∈ (0,1/4] sans perte de généralité et à poser y = g(x) ∈ [1/4,1).
_{^{(En fait, l'expression de g est très simple : sqrt(x) = 1 - sqrt(g(x)) équivaut à g(x) = (1-sqrt(x))², mais on s'en fiche!)}}

La fonction inverse est décroissante sur (0,1/4], donc le facteur 1+1/x est strictement positif et majoré par sa valeur en 1/4, qui est 1 + 4 = 5

La fonction g est décroissante sur (0,1/4] et ne s'annule pas, donc son inverse multiplicatif est décroissant sur (0,1/4] et comme pour la fonction inverse, le second facteur est strictement positif et minoré par la valeur en 0, qui est 1 + 4 = 5.

Il ne reste qu'à multiplier ces deux inégalités entre réels positifs

En fait je me suis planté, le second facteur n'est minorable que par 1+1 de cette façon

Donc il faut se farcir le calcul des dérivéees de x -> 1/(xg(x)) et x -> 1/x + 1/g(x) qui donnent des fonctions décroissantes.

L'inégalité équivaut à ( 1/x + 1/g(x) ) + 1/(xg(x)) >= 24.
On minore par la valeur en 1/4, qui est 4 + 4 + 16 = 24

Calculatoire, mais simple

Je simplifie un peu ma dernière méthode.
Elle me semble compréhensible par un élève de fin de collège

Avec et , on a .


F est du signe de N = z² + t² + 1 - 24z²t².
N = (z+t)² - 2zt + 1 - 24(zt)² = -2(12(zt)² + zt - 1)
Or 12X² + X - 1 = (3X+1)(4X-1).
D'où N = 2(3zt+1)(1-4zt) du signe de 1-4zt.
1-4zt = (z+t)² - 4zt = (z-t)²

*Message édité*