Niveau Préparation CRPE

Logique-5

Posté par
bouchaib 21-08-24 à 20:10

Bonsoir,

  On considère la proposition suivante :

$R''(\forall y \in R^{+}^{*})(\exists x\in R^{+}^{*}) : x-y=2y\sqrt{x} ''$

Montrer que   $(\forall y \in R^{+}^{*})   y<\sqrt {y^2+y}$ ; en déduire que la proposition R est vraie .
Réponse :   $0<y\Rightarrow y^2<y^2+y\Rightarrow y<\sqrt {y^2+y}  ( car  y >0)$ .

Pour la suite je n'ai pas pu faire la relation entre la démonstration précédente et démonter la véracité de la proposition R.
Merci  de me débloquer.

Posté par re : Logique 21-08-24 à 20:30

Tu ne travailles qu'avec des x et y strictement positifs. Par injectivité de la fonction carré, tu peux donc partout remplacer x et y par $x^2$ et $y^2$ .

$x^2-y^2 = 2y^2x \iff x^2 -(2y^2)x -y^2 = 0$

Equation du second degré en la variable x, à y fixé. Calcule le discriminant et regarde le signe des solutions éventuelles

Posté par re : Logique 21-08-24 à 20:49

salut

pour faire le lien entre les deux questions :

$x - y = 2y \sqrt x \iff \left( \sqrt x \right)^2 - 2y \sqrt x - y = 0 \iff \left( \sqrt x - y \right)^2 - (y^2 + y) = 0$

équation qui admet évidemment des solutions puisque de la forme $a^2 - b^2$ qui s factorise dans $\R$

Posté par re : Logique-5 21-08-24 à 23:13

Merci.
Seul racine valable est $x=(y+\sqrt{y^2+y} )^2$
L'autre racine ne convient pas car n'est pas dans R, $\sqrt {x}= y-\sqrt {y^2-y}$ car un racine carrée est toujours positive dans R .
Merci.