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Logique-6

Posté par
bouchaib 22-08-24 à 02:09

Bonsoir
1.On pose    I=]1,\infty[. \\ \\ En utilisant le raisonnement par  contraposée montrer que: \\ \\ \\ (\forall (x,y)\in I^2) (x\neq y) \Rightarrow ((x+3)(\sqrt {y}+1)\neq (y+3)(\sqrt{x}+1))
2. Montrer par disjonction des cas que :
  
(\forall x\in R) x^2+3\geq 2 |x+1|
Réponse :

  (\forall(x,y) \in I^2) ((x+3)(\sqrt{y} +1)=(y+3)(\sqrt {x}+1))\Rightarrow x=y

Par identification :  (x+3)=(y+3)   et  (\sqrt y +1)=(\sqrt x+1)

Il  sort des deux égalité  qu'il faut que x=y.(en tenant compte de I).

Cette  contraposée est vraie donc la proposition initiale l'est aussi.
2 . Par disjonction des cas on distingue 2 cas :
   Si  x\geq -1 \Rightarrow x^2 +3\geq 2(-x-1) \\ \\ x\leq -1 \Rightarrow x^2 +3 \geq 2x+2

Dans les 2 cas on obtient un discriminant négatif donc la proposition est vraie :
(\forall x\in R) : x^2+3\geq 2|x+1|.
Merci par avance.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Logique 22-08-24 à 06:51

Bonjour,
Pour 1), démarrer en affirmant la contraposée qu'il faut démontrer ne va pas.
Ou faire précéder d'une phrase genre "la contraposée que l'on cherche à démontrer s'écrit "
Ensuite le "par identification" ne démontre rien.
On peut avoir ab = cd avec a c et b d.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Logique 22-08-24 à 07:00

Une manière de faire :

L'égalité \; (x+3)(\sqrt{y} +1)=(y+3)(\sqrt {x}+1) \; est équivalente à une égalité de la forme f(x) = f(y) .

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Logique 22-08-24 à 07:06

Pour une rédaction claire de 2), commencer par poser
d(x) = x2 + 3 - 2|x+1| .
Inutile ensuite de parler de discriminant alors que
x22x \; est le début d'une identité remarquable.

Posté par
carpediemre : Logique-6 22-08-24 à 13:38

salut

il me semble par contraposée et en développant simplement on y arrive sans besoin d'une disjonction de cas ...

mais j'y reviendrai plus tard

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Logique-6 22-08-24 à 13:40

Oui, mais l'énoncé impose la méthode...

Posté par
carpediemre : Logique-6 22-08-24 à 14:09

un énoncé n'impose que rarement une méthode (sauf pour la travailler particulièrement et explicitement), il propose une indication car l'auteur sait que sans cela aucun n'avancerait ...

ici et connaissant mes outils de collège le raisonnement par contraposée s'impose quasiment de manière naturelle ... mais tu proposes ici une autre méthode relativement naturelle aussi à 07h00

Posté par
bouchaibre : Logique-6 22-08-24 à 15:12

Bonjour,

Pour 1) fx)=f(y) \frac{x+3}{\sqrt x +1}=\frac{y+3}{\sqrt y +1}
Ces deux rapports ne peuvent être égaux que si x=y.
Donc la contraposée est vraie et donc la proposition  à démontrer est vraie aussi.
Je n'ai pas pu voir autre chose : j'ai essayé avec les conjugués , développer...
Merci .

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Logique-6 22-08-24 à 15:42

Citation :
Ces deux rapports ne peuvent être égaux que si x=y.
\;

Posté par
bouchaibre : Logique-6 22-08-24 à 16:21

Pour  2)
On a : suivant que x-1 ou -1,

(x-1)^2\geq0   ou  (x+1)^2+6\geq0
Dans les deux  cas la proposition est vraie.
Pour 1 je n'avance pas .
Merci.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Logique-6 22-08-24 à 17:48

"f(x) = f(y) x = y", ça ne t'évoque rien pour la fonction f ?

Posté par
bouchaibre : Logique-6 22-08-24 à 17:53

Qu'elle est invective.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Logique-6 22-08-24 à 18:44

Comment démontrer qu'elle l'est ?

Posté par
bouchaibre : Logique-6 22-08-24 à 18:47

Pardon pour le lapsus orthographique.
Injective. Vous l'avez devinez je vous en remercie.

Posté par
bouchaibre : Logique-6 22-08-24 à 18:47

Deviné !

Posté par
bouchaibre : Logique-6 22-08-24 à 22:49

bonsoir,

  \frac{x+3}{\sqrt{x}+1}=\frac{y+3}{\sqrt {y}+1}\Rightarrow \frac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt {x}-1)}{\sqrt{x}+1}+\frac{4}{\sqrt{x}+1}=\frac{(\sqrt {y}-1)(\sqrt {y}+1)}{\sqrt {y}+1}+\frac{4}{\sqrt{y}+1}


(\sqrt{x}-\sqrt {y})(1-\frac{4}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1)})=0

\sqrt{x}=\sqrt{y} \Rightarrow x=y.
Ainsi on démontre que  f est injective
et donc la contraposée est vraie, donc la proposition du départ est vraie.
Merci encore.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Logique-6 23-08-24 à 07:39

Il faut préciser pourquoi \; 1-\dfrac{4}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1)} \; est non nul.
Une autre possibilité est de calculer la dérivée de f.

Posté par
bouchaibre : Logique-6 23-08-24 à 13:00

Merci.

Posté par
carpediemre : Logique-6 23-08-24 à 13:26

ce que tu as fait à 22h49 est l'idée que j'avais en tête mais tu te compliques inutilement les calculs avec des fractions.

avec le produit en croix, puis développement, puis tout mettre dans un même membre tu factorises effectivement par \sqrt x - \sqrt y

sauf erreur le second facteur est du type \sqrt x \sqrt y + a\sqrt x + a \sqrt y + b qu'on peut factoriser "simplement" et montrer qu'il est strictement positif

Posté par
bouchaibre : Logique-6 23-08-24 à 13:27

Merci beaucoup.


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