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Logique

Posté par
Yona07
16-10-21 à 19:24

Bonjour!

Soit n *. Soient x1, x2,..., xn+1 des points de l'intervalle de [0;1].
Montrer qu'il existe (i,j){1,2,3,...,n+1}2 tel que ij et |xi-xj|1/n.

Merci d'avance.

Posté par
carpediem
re : Logique 16-10-21 à 19:51

salut

combien y a-t-il d'intervalles de la forme [k/n, (k + 1)/n] dans l'intervalle [0, 1] ?

Posté par
Yona07
re : Logique 16-10-21 à 20:08

Salut!
Il y a n intervalles de cette forme dans [0,1]...(k{0,1,..,n-1})

Posté par
carpediem
re : Logique 16-10-21 à 20:23

oui ... et donc ?

Posté par
Yona07
re : Logique 16-10-21 à 20:40

Je n'arrive pas à trouver un lien (^_^)'...

Posté par
carpediem
re : Logique 16-10-21 à 21:03

et qu'y a-t-il d'autre dans l'énoncé ?

Posté par
Yona07
re : Logique 16-10-21 à 21:30

On peut partitionner l'intervalle [0;1] en segments  [\frac{k}{n};\frac{k+1}{n}] où k{0,1,...,n-1}.
On remarque que l'amplitude de ces segments est \frac{1}{n}. Donc il existe i et j de {0,1,...,n+1} tels que ij et xi, xj[\frac{k}{n};\frac{k+1}{n}] avec |xi-xj|1/n ??

Posté par
carpediem
re : Logique 16-10-21 à 23:25

combien de points te donne-t-on ?

Posté par
Yona07
re : Logique 16-10-21 à 23:45

n points

Posté par
ty59847
re : Logique 16-10-21 à 23:52

Supposons que tous les couples i,j avec i différent de j sont tels que |xi-xj| > 1/n
Prenons le plus petit des xi ; ce nombre est positif ou nul.
Puis le 2ème plus petit ; Ce nombre est donc strictement supérieur à 1/n
Puis le 3ème plus petit ... ...

Bon, la rédaction est très très bancale, mais à toi de jouer.

Posté par
carpediem
re : Logique 16-10-21 à 23:53

Yona07 @ 16-10-2021 à 23:45

n points
faux ...

Posté par
Yona07
re : Logique 17-10-21 à 09:40

carpediem @ 16-10-2021 à 23:53

faux ...

Désolée. n+1 points..

Posté par
carpediem
re : Logique 17-10-21 à 10:20

conclusion immédiate ?

Posté par
Yona07
re : Logique 18-10-21 à 19:03

Bonjour!
Parlez-vous du principe des tiroirs? Je n'y ai pas pensé du tout..
En fait, j'ai songé à vos questions toute la journée (n intervalles et n+1 éléments), et c'est à ce que j'ai abouti..

Posté par
Yona07
re : Logique 18-10-21 à 19:15

Ok, je comprends qu'on peut écrire l'intervalle [0;1] sous forme d'union d'intervalles [\frac{k}{n};\frac{k+1}{n}] tel que k{0,1,...,n-1} comme suit:

[0;1]=\bigcup_{k=0}^{n-1}{[\frac{k}{n};\frac{k+1}{n}]}

On a n intervalles de cette forme.

Et on a n+1 éléments.

Alors, si on place chaque élément dans l'un de ces intervalles, on aura forcément un qui contient deux éléments. En outre, la différence des deux éléments est inférieure à 1/n (amplitude).

Donc, il existe i et j de {1,2,...,n+1} tels que ij et \mid x_i-x_j\mid \leq \frac{1}{n}

L'idée est claire, mais commet la rédiger proprement?

Posté par
carpediem
re : Logique 18-10-21 à 19:21

ben comme tu viens de le faire ... enfin à peu près ...

Yona07 @ 18-10-2021 à 19:15



[0;1]=\bigcup_{k=0}^{n-1}{[\frac{k}{n};\frac{k+1}{n}]}

donc [0, 1] est l'union de n intervalles de longueur 1/n

Et on a n+1 éléments.

Alors, si on place chaque élément dans l'un de ces intervalles, on aura forcément un qui contient deux éléments. En outre, la différence des deux éléments est inférieure à 1/n (amplitude).

Donc, il existe i et j de {1,2,...,n+1} tels que ij et \mid x_i-x_j\mid \leq \frac{1}{n}

L'idée est claire, mais commet la rédiger proprement?
revoir ce qui est en bleu ...



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