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Niveau terminale
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logique

Posté par
sara235464
30-10-22 à 10:17

salut tout le monde j'ai besoin d'aide pour cet exercices juste une petite idée
c'est pour la préparation du devoir
a;b et c sont des réels non nuls montrer que :
ax+by=1 implique que 1/(x2+y2)<=a2+b2

Posté par
carpediem
re : logique 30-10-22 à 10:41

salut

considère les vecteurs u = (a, b) et v = (x, y)

leur produit scalaire est u.v = ax + by = 1

mais on sait aussi que u.v = ... ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : logique 30-10-22 à 10:43

Bonjour,
Il n'y a pas de c dans la dernière ligne, mais du x et du y.

Pour les exposants, il y a le bouton \; X2 \; sous le rectangle zone de saisie.
Il s'agit sans doute de démontrer 1/(x2+y2) a2+b2.

Qu'as-tu tenté ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : logique 30-10-22 à 10:45

Bonjour carpediem
Je te laisse poursuivre.

Posté par
sara235464
re : logique 30-10-22 à 10:49

oui vous avez raison c'est ce qu'il faut démonter mais au lieu d'utiliser le produit scalaire je pense à procéder avec des implications successives en utilisant des identités remarquables mais je n'y parvient pas

Posté par
carpediem
re : logique 30-10-22 à 10:53

quelle leçon as-tu vu ?

parce que sans le produit scalaire ça va être extrêmement difficile

cependant ce qui est demandé peut aussi s'écrire simplement (a^2 + b^2)(x^2 + y^2) \ge 1

calcule alors (a^2 + b^2)(x^2 + y^2) = et élève l'égalité ax + by = 1 au carré

Posté par
sara235464
re : logique 30-10-22 à 10:56

c'est pour la logique et j'ai enfin essayé la différence et ça passe désolée pour le dérangement et merci beaucoup pour votre aide

Posté par
carpediem
re : logique 30-10-22 à 11:06

je suis curieux de voir ...

Posté par
sara235464
re : logique 30-10-22 à 13:26

donc en premier on va faire la différence entre a2+b2 et 1/(x2+y2)
a2+b2 - 1/(x2+y2) =(a2x2+b2x2+a2y2+b2y2-1)/(x2+y2)
                                          =(1-2axby+a2y2+b2x2-1)/(x2+y2)
                                          =(ay-bx)2/(x2+y2)
avec :    (ax+by)2=1
             a2x2+b2y2+2axby=1
             a2x2+b2y2=1-2axby
puisque le résultat est positif alors on obtient l'inégalité

Posté par
carpediem
re : logique 30-10-22 à 13:50

merci et ok

il aurait donc été plus simple de calculer (a^2 + b^2)(x^2 + y^2) - 1 pour éviter de se trainer une fraction

(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) - 1 = a^2y^2 + b^2x^2 - 2axby = (ax - by)^2



mais

Posté par
carpediem
re : logique 30-10-22 à 13:52

merci et ok

il aurait donc été plus simple de calculer (a^2 + b^2)(x^2 + y^2) - 1 pour éviter de se trainer une fraction

(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) - 1 = a^2y^2 + b^2x^2 - 2axby = (ax - by)^2



mais

Posté par
sara235464
re : logique 30-10-22 à 22:39

oui vous avez raison et merci pour votre aide

Posté par
carpediem
re : logique 31-10-22 à 09:48

de rien



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