Niveau Préparation CRPE

Logique

Posté par
bouchaib 10-08-24 à 02:52

Bonjour,

      vouloir expliquer le raisonnement déductif par l'exemple suivant :

    Montrer que   $\forall a, b > 0, \sqrt ab \leq \frac{a+b}{2}$

la propriété qu'on veut appliquer :  si p implique q est vraie  et p est vraie (ou p est  donnée ) alors q est vraie (on déduit q).

  pour répondre à la question, on étudie le signe de la différence des  deux membre de cette inégalité :

   $\sqrt {ab}-(\frac{a+b}{2})\Rightarrow 2\frac{\sqrt{ab}}{2}-\frac{\sqrt a^{2}+\sqrt b^{2}}{2}\Rightarrow$ $-\left(\sqrt a +\sqrt b \right)^{2}\prec 0$ $\Rightarrow \sqrt {ab}\prec \frac{a+b}{2}$
$\Rightarrow \sqrt {ab}\prec \frac{a+b}{2}$ .

  Ma question : dans cet exemple   qui représente ( P implique q), qui représente p  et est-ce-que Q   c'est l'inégalité qu'on nous demande de montrer.

Merci par avance.

Posté par re : Logique 10-08-24 à 11:14

Bonjour,
même si on peut deviner ce que tu as voulu écrire ce que tu as écrit n'a pas de sens.
L'implication relie des propositions qui prennent leur valeur dans l'ensemble { vrai ; faux }. Or $\sqrt {ab}-\left(\frac{a+b}{2}\right)$ n'est pas une proposition mais un nombre qui ne peut pas impliquer quoi que ce soit ( en math ).

En fait tu commences par démontrer par un calcul que $\sqrt {ab}-\dfrac{a+b}{2}=-\left(\sqrt a -\sqrt b\right)^2$ est une proposition vraie.

Ensuite on fait le raisonnement
$-\left(\sqrt a -\sqrt b\right)^2\leqslant 0 \Rightarrow \sqrt {ab}-\dfrac{a+b}{2}\leqslant 0 \Rightarrow \sqrt {ab} \leqslant\dfrac{a+b}{2}$

Comme on sait que $-\left(\sqrt a -\sqrt b\right)^2\leqslant 0$ est une proposition vraie quelque soient les réels positifs $a$ et $b$ on conclu que $\sqrt {ab} \leqslant\dfrac{a+b}{2}$ est vraie quelque soient les réels positifs $a$ et $b$ .