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Niveau autre
Logique (au lycée: première )
Posté par bouchaib
Bonsoir,
Soit n et m deux nombres entiers naturels,
1.Montrer par recurrence que :
(
n
3), (1- 1/n )^n < n.
2. Déduire par récurrence que :
(n3) ( m3) : m<n 
n^m<m^n.
Je n'ai pas pu dépasser le stade initialisation pour la réponse à la question 1.
Je voudrais m'aider je suis bloqué malgré que j'ai essayé.
Merci
Si on veut vraiment utiliser une récurrence, on peut démontrer ceci :
Si 0 < a < 1 alors an < 1 pour tout n entier naturel non nul.
si m < n alors :
n^m < m^n <=> n^(m - n) < (m/n)^n <=> n^(m - n) < [1 - (n - m)/n]^n
es-tu sûr de ton énoncé ?
sachant que la fonction ln est croissante on peut remarquer que les nombres n^m et m^n sont dans le même ordre que x = m ln(n) et y = n ln(m)
or x/y = [m ln (n)] / [n ln (m)] = [m /ln (m)] / [n / ln (n)]
et il suffit d'étudier (les variation de) la fonction t --> t / ln (t)
très probable que le nombre e intervienne quelque part et nécessite la condition n > m >= 3
Bonjour,
bouchaib @ 21-06-2026 à 19:22
Merci et donc l'inégalité correcte est :
(1- 1/n)^n < 1 .
Merci et donc l'inégalité correcte est :
(1- 1/n)^n < 1 .
Essaie plutôt de démontrer (1 + 1/n)^n < n, avec le signe +.
À partir de là, ta question 2 devient bien cohérente.