Bonjour Sarwell !

Considère un point B bleu  du plan et construis le cercle de centre B et de rayon 53 (c'est le double de la hauteur d'un triangle équilatéral de côté 5 cm).

Deux cas sont possibles :
1/ le cercle est entièrement bleu les extrémités de toute corde de longueur 5 cm répondent au problème ;

2/ il y a au moins un point du cercle (appelons-le A) qui n'est pas blanc : supposons-le vert. On construit les points C et D de façon à ce que le quadrilatère ACBD soit un losange dans lequel BCD et ACD sont des triangles équilatéraux de 5 cm de côté.
L'un des deux points C ou D est soit de la même couleur que A ou B, ou bien C et D sont tous les deux rouges.

cqfd


Alexandre

Ce problème ressemble à un problème  de rallyes mathématiques d'Alsace 1987

Il faut d'ailleurs lire "bleu" au lieu de "blanc" dans le 2/

Bonjour
J'avais trouvé une autre façon Lexou moins claire mais j'ai fait ta figure c'est inpeccable.
Par contre le triangle équilatéral de 3 sommets de couleurs différentes est il supposé exister?
Je me suis posé la question de savoir si un tel triangle de côté quelconque existe au départ dans n'importe quel plan tricolore.

Salut Cunctator !

Si le triangle équilatéral (de côté 5 cm ) n'existe pas alors le problème est résolu !!!

Deux sommets au moins sont de même couleur !

Bonsoir
Bien sur. Pourrais tu s'il te plait, quand même vérifier si la méthode(plus compliquée certes) que j'avais utilisée est bonne. Merci d'avance

Beau travail Cunctator !

Le seul point de ta démonstration qui me pose problème est quand tu fais subir au triangle V'R'B" une rotation de centre B. On conserve bien sûr la condition que les trois sommets sont de couleurs distinctes (sinon la preuve est faite) en revanche, on n'est plus sûr de l'ordre des couleurs (du moins il me semble). Les couleurs bleu-vert-rouge lues dans le sens trigonométrique peuvent devenir bleu-rouge-vert.
Finalement, tu n'es pas assuré que B" soit toujours bleu et donc le raisonnement sur la longueur du segment [B'B"] ne peut s'appliquer.

J'ai peut-être raté quelque chose ...


Alexandre

Après relecture, l'ordre ne semble pas déterminant puisque comme tu l'indiquais, que V' soit vert ou rouge, R' sera respectivement rouge ou vert et on aura toujours B" bleu.

Je ne vois donc plus de défaut dans ta preuve.

Re-félicitations

Merci lexou de ta vérification
Effectivement je n'avais pas vu ce détail mais c'est parce qu'en
fait la royation ne sert que pour faire atteindre à B'B" la longueur 5 . La position critique étant atteinte si le point n'est pas vert mais rouge on passe de l'autre côté et donc tu as raison il manque un morceau de la figure mais en fait je l'avais fait au départ et j'en l'ai effaçé après pensant qu'il surchargeait la figure
Je vais donc compléter la figure et encore merci    

Tout bien réfléchi finalement c'est suffisant comme çà, il ne faut pas tenir compte de ma réponse, j'ai eu un moment d'égarement.
A plus tard.