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Niveau Prepa (autre)
Logique formelle
Posté par AstreB612
Deux formules A et B sont dites équivalentes (on notera A ≡ B) si elles prennent la même valeur de
vérité l'une et l'autre, quelle que soit la distribution de vérités donnée sur l'ensemble des variables
propositionnelles intervenant dans ces formules. Autrement dit, elles sont vraies et fausses sous les
mêmes conditions sur les variables propositionnelles. On note alors A ≡ B.
Par conséquent on ne pourra jamais parler d'équivalence entre par exemple deux propositions de la forme :
A : ( 
x,( P
Q ) ) et B : ( (x, P) (x, Q) )
En effet la proposition A ne prend en entrée qu'une variable propositionnelle x. Alors que la B en prend deux qui peuvent être distinctes, on a d'abord (x, P), on prend une certaine valeur de x, et ensuite on a (x, Q), on en prend une deuxième.
Donc la valeur de vérité de B dépend de deux variables qui peuvent être différente, alors que la A ne dépend que de une valeur de x. Donc on ne pourra jamais dire que A et B sont vraies et fausses sous les mêmes conditions sur les variables propositionnelles puisque ces conditions ne sont pas les mêmes.
Pour parler d'équivalence entre deux propositions, il faut que ces deux propositions prennent les mêmes et le même nombre de valeurs en entrée.
Pouvez vous me dire si je dis des bêtises ou non et expliquer les moi si oui.
Soit f une fonction définie sur à valeurs réelles.
Si A est la proposition
et si B est la proposition , est-il vrai que
?
J'allais répondre " Mais par définition, on peut parler d'équivalence si A et B sont vraies et fausses sous les
mêmes conditions sur les variables propositionnelles. Or A ne dépend que de x et B de x et y, on peut affirmer la vérité de A qu'avec x, pas avec x et y, donc baa au sens de la définition A et B ne sont pas équivalent".
Mais en fait si on pourrez bien dire que A dépend de (x,y), c'est juste que la valeur de y n'influencerai pas A, donc on la note pas.
On aurait A: 
(x,y), f(x)>0
et B: ....
Et du coup ba on pourrait bien dire que A et B sont vraies et fausses sous les mêmes conditions sur les variables propositionnelles. Donc oui A ≡ B.
Fin je crois...
Bien essayé, mais si tu couples x et y en une seule variable, et pas à
. J'ai fait exprès de te tendre ce piège vicieux
L'équivalence que j'ai donnée est sémantique : les deux propositions expriment la même chose. On peut déduire A à partir de B et réciproquement.
La définition que tu donnes de l'équivalence en fonction de l'arité est davantage syntaxique. Je ne suis pas certain que l'équivalence sémantique entre A et B implique l'existence d'une transformation qui enverrait A sur A' de même arité que B, sémantiquement équivalente à A et syntaxiquement équivalente à B ( ou B sur B' de même arité que A, sémantiquement équivalente à B et syntaxiquement équivalente à A). Transformation voudrait dire qu'on envoie A sur B et A' sur B' (ou B' sur A') de façon cohérente avec les connecteurs logiques ?
Mais l'équivalence notée "≡" est une équivalence "syntaxique" comme vous dîtes. Du moins c'est ce que je lis dans le cours d'Alain Troesch, page 7, définition 1.1.6: 
Ainsi dans votre cas on ne peut pas dire que A≡B ?
Et il faut que A et B soient de même arité pour que A≡B ?
En tout cas, c'est comme ça qu'il faut comprendre la définition de ton pdf oui. Selon cette dernière, mais
.
D'ailleurs dans le 1.1.8, on voit bien que les deux arguments de l'opérateur sont systématiquement des formules propositionelles ayant les mêmes variables propositionnelles. Ce n'est pas seulement le même nombre, mais les mêmes variables.
Si A, B, C et D sont des propositions fixées, , mais il est vrai que
.
Et je dirais aussi que
Et , on a
mais
. Ceci étant, on pourrait dire que
où
serait une formule propositionnelle tautologique ayant une variable propositionnelle, ce qui n'est pas le cas de
Bonjour,
Il y a, depuis le début de ce fil, une confusion sur ce que veut dire "variable propositionnelle". Dans l'exemple donné :
AstreB612 @ 22-06-2024 à 12:01
A : (x,( PQ ) ) et B : ( (x, P) (x, Q) )
A : (
x,( PQ ) ) et B : ( (x, P) (x, Q) ) x N'EST PAS une variable propositionnelle. On ne quantifie pas sur les variables propositionnelles (du moins, pas au prenier ordre). Une variable propositionnelle est une variable qui reçoit la valeur Vrai ou Faux dans une distribution de valeurs de vérité. La définition d'équivalence 1.1.6. donnée par Troesch est une définition sémantique et pas syntaxique : deux formules du calcul propositionnel sont équivalentes si et seulement si elles reçoivent la même valeur de vérité pour toute distribution de vzleurs de vérité sur les variables propositionnelles.
Rappel : une formule du calcul propositionnel est ce qu'on construit à partir des variables propositionnelles au moyen des connecteurs logiques
x,( PQ ) n'est pas une formule du calcul propositionnel.
Une définition syntaxique de l'équivalence de formules du calcul propositionnel serait :
Mais du coup ça veut dire qu'avec
A : ( x,( PQ ) ) et B : ( (x, P) (x, Q) )
A≡ B.
On peut s'en assurant en dressant la table de vérité.
Pourtant on voit dans la correction que :
Citation :
Dansx,( PQ ), P et Q doivent être satisfaites pour une même valeur de x, ce qui n'est pas
nécessaire si (x, P) (x, Q). Ainsi, la première assertion entraîne la deuxième, mais pas l'inverse.
Dans
x,( PQ ), P et Q doivent être satisfaites pour une même valeur de x, ce qui n'est pas
nécessaire si (
x, P) (x, Q). Ainsi, la première assertion entraîne la deuxième, mais pas l'inverse.J'en avait compris que A et B ne sont pas équivalents. Mais peu être bien que si finalement, fin dîtes moi.
La confusion persiste.
Mon explication que tes formules A et B ne sont pas des formules du calcul propositionnel n'a pas été comprise. Il y a des quantificateurs dans ces formules, ce sont des formules du calcul des prédicats.
Il n'est pas question de table de vérité pour la sémantique du calcul des prédicats, mais de structures pour le langage dans lequel sont écrites les formules.
Considérons tes deux formules et
. Elles sont construites à partir de deux prédicats
et
. Prenons la structure qui a pour univers
, l'ensemble des réels, soit
le prédicat
et
le prédicat
. Alors la formule
est vraie dans cette structure, mais la formule
est fausse. Ceci montre que les deux formules ne sont pas équivalentes.
Tu parles d'une correction. Quelle correction ?
Ahh oui excusez moi...
On ne peut donc pas parler d'équivalence de deux prédicats au sens sémantique, l'équivalence en ce sens ne concerne donc que les formules du calcul propositionnel.
Je parle des exercices et leur corrigé du site d'Alain Troesch:
Dans l'exercice 1.2 , on nous présente plusieurs couple de proposition et en doit les comparer. Dans la correction, on peut parfois voir que les deux propositions sont équivalentes, ou que l'une implique l'autre, ....
Quand la correction parle d'équivalence elle parle donc d'équivalence syntaxique je suppose ?
Dans le cours il mentionne que deux équivalences, celle que vous appelez "sémantique" notée "≡" et celle notée
quand les formules propositionnelles de part et d'autre du signe sont de même vérité, mais il ne parle pas de l'équivalence "syntaxique". Mais je pense qu'il s'agit de cette équivalence dans la correction.
Pouvez vous m'éclaircir sur ces différentes équivalences?
Et comment les prouver ?
Mouais, ce cours n'est pas terrible. Par exemple, l'équivalence n'est définie que pour les formules propositionnelles et pas pour les formules du calcul des prédicats (avec quantificateurs).
L'équivalence pour les formules du calcul des prédicats peut très bien se définir de manière sématique.
Soient et
deux formules du même langage
. Elles sont équivalentes si et seulement si, pour toute structure réalisant le langage
, d'univers
, l'ensemble des
tels que
est égal à celui des
tels que
(autrement dit, les deux formules ont la même extension dans la structure).
Si et
sont des formules closes (sans variable libre) de
, elles sont équivalentes si et seulement si dans toute structure pour
où
est vraie,
l'est aussi et vice-versa.
Je pense que je t'ai pas mal assommé, là. La logique formelle, si on veut dire les choses à peu près correctement, demande pas mal de technicité. Dans le cours de Troesch, les choses sont faites à moitié pour ne pas y passer trop de temps, et il y a forcément pas mal de trucs cachés sous le tapis.
Ahh ouii, assommé... 
Vous auriez une idée d'où est ce que je pourrais trouver un cours complet sur le sujet, j'en trouve pas ?