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loi binomiale

Posté par
lea2102
19-03-13 à 21:17

bonjour, pouvez vous m'aider car je ne comprend absolument rien ! merci d'avance

Une entreprise emploie 20 personnes. Une étude statistique permet d'admettre, qu'un jour donné, la probabilité qu'un employé donné soit absent est 0.05. On admet que les absents des employés survenues un jour donné sont indépendantes les unes des autres. On note X la variable aléatoire qui, à chaque jour choisi au hasard, associe le nombre d'employés absents.
a) expliquer pourquoi X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
b) calculer la probabilité, qu'un jour donnée, il y ait exactement 3 absents
c) Calculer la probabilité, qu'un jour donné, il y ait au moins 3 absents
d) calculer la probabilité qu'un jour donné, il y ait moins de 3 absents

Posté par
steen
re : loi binomiale 19-03-13 à 21:58

Bonsoir,

Pour une bonne compréhension de la loi binomiale, il faut revenir à ce qu'est une épreuve de Bernoulli.

Qu'est-ce qu'une épreuve de Bernoulli? C'est une expérience aléatoire qui ne mène qu'à deux issues possibles qu'en général on appelle gagné ou perdu.

Exemple: je lance une pièce de monnaie et je gagne si je tombe sur pile, je perds si je tombe sur face.

Ici, tu peux considérer l'épreuve de Bernoulli suivante: un jour donné, je prends au hasard un employé de l'entreprise et je regarde s'il est présent ou absent: il n'y a que deux issues possibles "présent" ou "absent". Pour faire le lien avec le lancer de pièce, ici on va dire qu'on a gagné quand l'employé est absent et qu'on a perdu lorsque l'employé est présent. La probabilité de "gain" dans cette épreuve élémentaire est égale à 0,05.

Quand on répète n fois une épreuve de Bernoulli, à l'identique et de façon indépendante (c'est à dire ici qu'un employé soit absent ou pas ne conditionne pas le fait qu'un autre employé soit absent ou pas), la variable aléatoire X qui comptabilise le nombre de succès (ici le nombre d'absents) suit la loi binomiale de paramètres n=20 (le nombre de répétitions) et de probabilité p=0,05.

En effet, imagine que tu fasses passer à un jour donné à chaque employé, à tour de rôle, une épreuve de Bernoulli: absent ou non absent?

C'est bien la même expérience, à l'identique, répétée 20 fois de façon indépendante (si un employé est absent, cela n'influe pas sur la présence ou l'absence des autres).

La variable aléatoire qui comptabilise le nombre de "succès" (c'est à dire le nombre d'absent) suit alors la loi binomiale de paramètres n=20 (le nombre de répétitions) et p=0,05 (la probabilité qu'un employé pris au hasard soit absent).

Après, tout n'est qu'histoire de formules...

Posté par
lea2102
re : loi binomiale 20-03-13 à 08:50

Merci beaucoup de votre aide, par contre les formules que l'on doit mettre dans l'exercice, je ne sais pas du tout les quelles mettre pouvez juste me les donner puis je me débrouillerai pour les mettre dans les bonnes questions merci d'avance ! Bonne journée à
vous j'espère avoir une réponse de votre part

Posté par
valparaiso
re : loi binomiale 20-03-13 à 11:12

en l'absence de steen...

P(X=3)=k*(0,05)^3*(0,9)^17

avec k le coefficient binomial de 3 éléments pris parmi 20

ta calculatrice te donnera ce nombre : j'ai trouvé 1140!

steen confirmera!

Posté par
lea2102
re : loi binomiale 20-03-13 à 13:30

daccord je vous remercie de votre aide bonne journée a vous !

Posté par
lea2102
re : loi binomiale 20-03-13 à 14:09

a quoi correspond les "^" s'il vous plait car je ne comprend pas.

Posté par
valparaiso
re : loi binomiale 20-03-13 à 14:17

exposant

Posté par
lea2102
re : loi binomiale 20-03-13 à 14:37

c'est pareil pour les trois questions ?

Posté par
valparaiso
re : loi binomiale 20-03-13 à 18:46

pour la d il faut calculer P(X=0)+p(X=1)+P(X=2)

et pour la c il faut calculer 1-P(x2)

enfin je crois

tu fais quelle section?

Posté par
steen
re : loi binomiale 22-03-13 à 00:40

Bonsoir lea2012 et valparaiso,

Je confirme, les formules c'est bien ça.

Pour calculer p(X3), effectivement il y a une "ruse".

Puisque la variable aléatoire X ne peut prendre que les valeurs 0, 1, 2, 3, ..., 20 on a:

p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)+...+p(X=20)=1

D'où p(X3)=p(X=3)+p(X=4)+...+p(X=20)=1-[p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)]

Ce qui fait nettement moins de calculs.

Posté par
valparaiso
re : loi binomiale 22-03-13 à 12:32

merci steen



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