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Loi binomiale

Posté par
Linaloubi59
14-02-22 à 13:12

Bonjour ,
J'ai un exercice à faire en maths .
J'ai réussi à faire la première partie mais la deuxième je n'y arrive pas.
J'aimerai donc avoir de l'aide .
Merci d'avance

Voici le sujet :
A l'occasion d'un festival de cinéma à Tarantiville, on interroge cinq personnes à la
fin de la projection d'un film.
Le nombre de personnes assistant à cette projection est suffisamment grand pour
que l'on puisse assimiler ce sondage à des « tirages successifs » avec remise.
On appelle 𝐶 la variable aléatoire qui associe, à chaque groupe de personnes
interrogées, le nombre de personnes ayant aimé le film.
1. On a constaté dans d'autres villes de la région que 40 % des personnes interrogées ont aimé le film.
a. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire 𝐶 ?
b. On appelle 𝐴 l'évènement « parmi les cinq personnes interrogées, il y en a trois qui ont aimé ce film ».
Déterminer la probabilité de l'évènement 𝐴.
2. Il s'avère que la population ayant assisté à cette projection est très différente de celle des autres villes
car cette projection a eu lieu dans le cadre d'un festival. On appelle 𝑝 la probabilité pour une personne
d'aimer ce film.
a. Exprimer, en fonction de 𝑝, la probabilité de l'évènement 𝐴.
b. Étudier le sens de variation de la fonction 𝑓 définie sur [0 ; 1] par 𝑓(𝑝) = 𝑝3
(1 - 𝑝)2
.
c. Pour quelle valeur de 𝑝, la probabilité de l'évènement 𝐴 est-elle maximale ?

Posté par
Linaloubi59
re : Loi binomiale 14-02-22 à 13:14

Pour la première partie j'ai trouvé ceci :
1) La loi suivie est la loi binomiale
Y ~B (5;0.4)

2) La probabilité de l'évènement A est 0.230

Posté par
Linaloubi59
re : Loi binomiale 14-02-22 à 16:57

Est ce que vous pouvez m'aider s'il vous plait ?

Posté par
carita
re : Loi binomiale 14-02-22 à 17:52

bonjour

pas très clair cet énoncé, je trouve.

je suis d'accord avec tes résultats du 1)
1) p(A) = 0.2304 soit environ 23%

2) a)  ici, on ne connait pas la probabilité p  (qui était de 40% en 1).
on te demande d'établir l'expression, en fonction de p, de
p(C=3) = ....  formule du cours
sachant que C suit une loi binomiale B(5,p)

tu devrais y voir un lien avec la question 2b)...

Posté par
Linaloubi59
re : Loi binomiale 14-02-22 à 21:06

Merci Carita pour votre réponse !

2a) P(C=3) = (n) *p3(1-p)5-3
                             (3)

2b) J'ai dérivée f(p) ensuite j'ai calculé Delta j'ai trouvé =4 et x1=0 ; x2=1/3

est ce bien ça ?

Posté par
carita
re : Loi binomiale 15-02-22 à 11:58

bonjour Linaloubi59

une étourderie :
2a) P(C=3) = (2) *p3(1-p)5-3
                             (3)

d'où  P(C=3) =10 p3(1-p)2
tu vois le lien avec la question suivante ?

2b) J'ai dérivée f(p) ensuite j'ai calculé Delta j'ai trouvé =4

oui, mais développe davantage sur ta copie

f '(p) = p²(5p²-8p+3)
f '(p)=0
p=0 ou 5p²-8p+3=0  --- eq. second degré

=4  oui
pas d'accord ensuite pour les racines
tu peux poster l'image de ton tableau de variation si tu veux

Posté par
carita
re : Loi binomiale 15-02-22 à 12:00

...  en matière d'étourderie, je ne suis pas la dernière :/
lire :

2a) P(C=3) = (5) *p3(1-p)5-3
                             (3)

Posté par
Linaloubi59
re : Loi binomiale 16-02-22 à 13:45

2b) je ne comprends pas comment vous avez trouvé ceci :f '(p) = p²(5p²-8p+3)

J'ai refais le calcul des racines avec votre formule et j'ai trouvé x1= 0.6 et x2= 1

Voici le tableau de variation :

2c)La probabilité de l'évènement A est maximale pour x=0.6

Loi binomiale

Posté par
carita
re : Loi binomiale 16-02-22 à 13:56

bonjour Linaloubi59,

énoncé :
2b. Étudier le sens de variation de la fonction 𝑓 définie sur [0 ; 1] par 𝑓(p) = p³(1 - p)²

2b) je ne comprends pas comment vous avez trouvé ceci :f '(p) = p²(5p²-8p+3)   --- montre comment tu as établi ta dérivée

les racines de 5p²-98+3  sont  x1= 0.6 et x2= 1   ---- exact

sur le tableau de variation, tu as fait des erreurs, dont :
- la 1ère ligne, ce n'est pas  x, mais p
- la 2ème ligne doit être réservée au signe de f ' - la dérivée
- la 3ème, à la variation de f
- l'image par f de p=0.6 n'est pas 0.34 ni 0...

2c)La probabilité de l'évènement A est maximale pour x=0.6   --- exact
quelle est alors la probabilité p(C=3) ?  (cf 2a)

Posté par
Linaloubi59
re : Loi binomiale 16-02-22 à 14:42

2b) Pour trouver f '(p) = p²(5p²-8p+3)  vous avez dérivé 𝑓(𝑝) = 𝑝3(1 - 𝑝)² ou p(c=3)=10p3(1-p)²?
Car hier lorsque j'ai trouvé =4 j'ai dérivé 𝑓(𝑝) = 𝑝3(1 - 𝑝)²  mais je crois que j'ai mal dérivé

J'ai refait le tableau de variation en corrigeant les fautes mais je n'ai pas mit  l'extremum et le minimum car j'attend de savoir quel f(p) je dois utiliser .

Loi binomiale

Posté par
carita
re : Loi binomiale 16-02-22 à 15:49

- signe de f ' : tu dois avoir trois 0 sur la ligne, car f '(p) a 3 racines.

- calcule
f(0)
f(0.6)
f(1) et place ces images sur le tableau

carita @ 16-02-2022 à 13:56

énoncé :
2b. Étudier le sens de variation de la fonction f définie sur [0 ; 1] par f(p) = p³(1 - p)²

c'est bien de  la fonction f qu'il s'agit;  tu dois dériver  f(p) = p³(1 - p)²  et donner le tableau de variation de f.


mais ensuite, pour répondre à la question posée en 2c), tu dois faire le lien entre p(C=3) et f(p) :
voir mon message 15-02-22 à 11:58

carita @ 15-02-2022 à 11:58

 P(C=3) = \binom{5}{3}  p^3(1-p)^2       d'où      P(C=3) =10   p^3(1-p)^2 = ....?
tu vois le lien avec la question suivante ?

Posté par
Linaloubi59
re : Loi binomiale 17-02-22 à 13:46

Bonjour Carita ,
Lorsque je dérive p3(1-p)² je trouve f'(p)= 3p²(1-p)+p3(-2*(1-p)) et non f '(p) = p²(5p²-8p+3)

Posté par
carita
re : Loi binomiale 17-02-22 à 13:58

erreur dans l'application de la formule

(uv)' = u 'v  + uv'

tu as oublié le carré de v

Posté par
Linaloubi59
re : Loi binomiale 17-02-22 à 14:03

Oui effectivement j'ai oublié le ² en tapant sur le clavier .

Posté par
carita
re : Loi binomiale 17-02-22 à 14:06

donc c'est qu'il y a une erreur sur développement/réduction/factorisation

montre le détail de tes calculs si tu bloques.

Posté par
Linaloubi59
re : Loi binomiale 17-02-22 à 14:39

Dérivation de p3(1-p)² :

1. Dérivée de p3 = 3p²
2. Dérivée de (1-p)² :
(un)'=n*u'*un-1
avec u= 1-p       u'=? (pour le moment)
n=2              n'=0

La dérivée de 1-p donc u':
(u-v)'=u'-v'
u=1  u'=0
v=p  v'=1
(u-v)'= 0-1=-1
donc dérivée de 1-p = -1

dérivée de (1-p)²:
u=1-p  u'=-1
n=2  n'=0
(un)=2*(-1)*(1-p)2-1
=-2*(1-p)

La dérivée de (1-p)² = -2*(1-p)

Dérivée de p3(1-p)²:
(uv)'=u'v+uv'
avec u=p3  u'=3p²
v= (1-p)²  v'= -2*(1-p)

(uv)'=3p2*(1-p)²+p3(-2(1-p))

Posté par
carita
re : Loi binomiale 17-02-22 à 14:51

heu, si tu veux, mais normalement en terminale, tu n'as pas besoin de mettre tout ce détail sur ta copie.

f(p) = p³ (1-p)²

u = p³         -----   u ' = 3p²
v = (1-p)²  -----  v ' = 2*(-1)*(1-p) = -2(1-p)

f '(p) = u 'v+uv' = 3p²*(1-p)²+p³(-2(1-p)) = 3p²(1-p)²   +   p³(2p-2)  
ceci suffit

ensuite,
sachant que l'idéal est de factoriser f '(p) afin de faciliter l'étude de son signe,
on met en évidence le ou les facteurs communs :
(sur le brouillon, on souligne ou colorie, si besoin...)

f '(p) = 3p²(1-p)²   +   p³(2p-2)  
= 3 (1-p)²   +   p * (2p-2)
= [ ...... + ...... ]
=... tu dois arriver à    p²(5p²-8p+3)

Posté par
Linaloubi59
re : Loi binomiale 17-02-22 à 15:11


=p²[3(1²-2p+p²)+2p²-2p]
=p²[3-6p+3p²+2p²-2p]
=p²[3-8p+3p²+2p²]
=p²(5p²-8p+3)

Posté par
carita
re : Loi binomiale 17-02-22 à 15:15

Posté par
Linaloubi59
re : Loi binomiale 17-02-22 à 15:19

Pour la suite de l'exo je pense avoir compris ce qu'il faut faire .
Merci beaucoup Carita pour votre aide !

Posté par
carita
re : Loi binomiale 17-02-22 à 15:24

avec plaisir
n'hésite pas à revenir si tu as d'autres questions.

Posté par
Patoch33
re : Loi binomiale 29-10-23 à 12:32

Bonjour, je n'ai pas compris comment il fallait faire pour le tableau de variations du petit b du 2. Pourriez vous m'aider ?

Posté par
Leile
re : Loi binomiale 29-10-23 à 12:53

bonjour,

dis moi ce que tu n'as pas compris exactement ?
C'est le calcul de la dérivée ?

Posté par
Leile
re : Loi binomiale 29-10-23 à 13:59

pas de réponse ....    je reviens ce soir.

Posté par
Patoch33
re : Loi binomiale 30-10-23 à 11:40

Bonjour,  

Excusez moi  je n'ai plus regardé mon ordinateur de la journée je me suis reconcentré et j'ai finalement trouvé la réponse.

Merci quand même !



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