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loi binomiale et loi normale
Bonjour,
Pouvez-vous m'aider à y voir clair dans et exercice et vérifier mes calculs s'il vous plaît ? La dernière question notamment me met en échec.. et je ne suis pas sûre de mes autres réponses. Je vous remercie de vos éclairages.
Voici l'énoncé et mes réponses.
Pour jouer à l'Euromillions, en plus des 5 numéros à choisir parmi 50, il faut cocher 2 étoiles parmi 11 numérotées de 1 à 11.
On admet que pour un tirage unique, la probabilité qu'un joueur coche au moins une bonne étoile est égale à 3/55
Un joueur jour 100 fois dans l'année.
X est la variable aléatoire qui à une répétition de 100 jeux associe le nombre de jeux où au moins une bonne étoile est cochée.
On s'intéresse à la probabilité que le joueur coche au moins une bonne étoile plus d'une fois sur deux.
a ) Exprimer à l'aide de la variable aléatoire X la probabilité que l'on doit calculer
Ma réponse :
On répète 100 fois, de manière identique et indépendante, une expérience aléatoire qui consiste à cocher au moins une bonne étoile . Cette expérience a deux issues.
X suit la loi binomiale de paramètre n = 100 et p = 3/55
On doit calculer P(X>= 50)
b) Calculer l'espérance et l'écart type de la variable X
Ma réponse :
E(X) = n*p = 100*3/55 = 5.45
Ecart type = V((n*p*(1-p) = V((100*(3/55)*(52/55) = 2.2709
c) Expliquer pourquoi on peut considérer que la variable aléatoire Z = (X-µ)/sigma suit approximativement la loi normale centrée réduite
Ma réponse :
Les trois conditions nécessaires sont remplies c'est à dire :
n>= 30 car n = 100
n*p >= 5 car n*p = 5.45
n*(1-p) >= 5 car 100*(52/55) = 94.54
Donc P (a<= (X-E(X)) / sigma <= b) peut être approximée par P(a<=Z<=b) où Z suit une loi normale centrée réduite
d) Déterminer le nombre réel a tel que P(X>= 50) = P(Z>=a)
Ma réponse :
P(X>=50)
P(X-µ) / sigma >= (50 - 5.45) / 2.2709
(Z)>= 44.55 / 2.2709
Z >= 19.617
e ) Déterminer à la calculatrice P(Z>= a)
Ma réponse. On cherche P(Z>= 19.617)
Avec la calculatrice Ncd Lower 19.617
Upper : 100000000
sigma : 1
µ : 0
Cela donne p = 6.35E-86
En déduire la probabilité qu'un joueur coche au moins une bonne étoile plus d'une fois sur deux
Ma réponse :
P(X>= 50) = 6.4E-86
Cette probabilité est quasi nulle
f) Déterminer le plus grand nombre entier n tel que la probabilité que le joueur coche au moins une bonne étoile n fois dans l'année soit supérieure ou égale à 0.5
Ma réponse :
On répète n fois la même expérience à deux issues. X suit la loi B(n ; 3/55)
On veut que la probabilité du succès >= 0.5
J'ai pensé qu'on pouvait approximer par la loi normale don j'ai vérifié que les critères sont remplies : n >100 don >=30
n*p >= 5.45 donc >= 5
n*p*(1-p) >= 94.56 donc >= 5
On peut approximer B(n;3/55) par la loi normale
Je calcule µ = 3n/55
Je calcule sigma : V(156n/3025)
On cherche P(X>=1) >= 0.5
P(X>=1) = 1 - P(X=0)
Et là je ne m'en sors pas. Je ne sais plus comment raisonner ni comment calculer
Pouvez-vous m'aider ?
Je vous remercie.
Bonjour,
J'apporte une modification à mon post initial de 11 h 07
Après réflexion, je pense avoir fait une erreur sur la question e)
Déterminer à la calculatrice P(Z>= a )
Ma réponse modifiée :
J'ai mal programmé ma calculatrice en utilisant µ = 0 et sigma = 1
Je pense que je dois utiliser les paramètres de la loi binomiale c'est à dire
sigma = 2.27 et µ = 5.45
Ce qui donnerait p = 2.2529E-10
La probabilité demeure quasi nulle
Voulez-vous vérifier mes calculs s'il vous plait..
Je vous remercie
Bonjour,
je suis entièrement d'accord avec alb12 :
cette proba 3/55 qu'on doit admettre ne correspond pas à la réalité
Bonjouri Alb 12
Bonjour Barney
Merci de vous pencher sur mon exercice.
Je confirme l'énoncé : " On admet que pour un tirage unique la probabilité qu'un joueur coche au moins une bonne étoile est égale à 3 / 55. "
ce 3/55 donne des calculs sans interet ensuite
Donc bizarre
Pour moi la probabilité qu'un joueur coche au moins une bonne étoile est égale à 1-9*8/(11*10)=19/55
Il faudrait poser la question à ton professeur
je peux me tromper ...
Je vois que l'un et l'autre, Alb 12 et Barney, vous indiquez une réponse identique pour remédier à cette erreur possible d'énoncé
Je poserai la question au professeur.
Pouvez-vous me dire cependant si ma DEMARCHE de calcul est correcte jusqu'au e) inclus ?
Et vous serait-il possible de m'indiquer les modalités de calcul pour la dernière question car je n'avance plus ...
"Déterminer le plus grand nombre entier n tel que la probabilité que le joueur coche au moins une bonne étoile n fois dans l'année soit supérieure ou égale à 0.5.
Je vous renouvelle mes remerciements.
J'en étais là en effet et j'avais donc posé
P(X>=1) = 1 - P(X=0)
Et là je bloque..
J'ai tenté de poursuivre avec la loi binomiale
et je me retrouve avec n > 12.35
Ceci ne me parait pas possible.. Et je ne sais pas l'interpréter..
Merci
Voilà ce que j'avais fait pour P(X=0)
n )* (3/55)^0* (1-(3/55)^n
0 )
(1-3/55^)^n
(52/55)^n
cela donnerait
P(X>=1) >= 0.5 puis 1 - (52/55)^n >=0.5
puis -(52/55)^n >= 0.5-1
(52/55)^n <0.5 (on multiplie par -1)
ln(52/55)^n<ln0.5
n.ln(52/55)<ln0.5
n>=ln(0.5) / ln52/55
n>12.35
Voilà où j'en suis.. Merci de votre aide.
Je ne pense pas que ce soit le bon calcul.. et en tous cas je ne sais pas l'interpréter dans le contexte de la situation..
Cela voudrait dire que n = 13 c'est à dire 13 fois une répétition de 100 jeux..??
A votre avis ?.
Je m'embrouille un peu avec cette question dont je trouve l'énoncé compliqué à comprendre...
Aux dernières nouvelles, le prof a confirmé la probabilité de 3/55...
la reponse est dans la question
"Déterminer le plus grand (c'est plutot le plus petit je pense, encore un pb d'enonce ? ) nombre entier n tel que la probabilité que le joueur coche au moins une bonne étoile n fois dans l'année soit supérieure ou égale à 0.5"
ce n'est plus 100 c'est n=13 (il joue 13 fois dans l'annee)
Mon problème est bel et bien de comprendre l'énoncé et d'interpréter la réponse;
Je comprends de l'énoncé que " la probabilité que le joueur coche au moins une bonne étoile 13 fois (n fois) dans l'année est supérieure ou égale à 0.5"
Ainsi j'interprète que n serait à la fois le nombre de fois où il joue ET le nombre de fois où il coche une bonne étoile.
Donc n représenterait le nombre de jours où il coche la bonne étoile et NON le nombre de jours où il joue (ce dernier nombre incluant les jours où il ne coche pas la bonne étoile).
Voilà mes interrogations sur cette question.
Mais je ne veux pas abuser de votre temps et je vous remercie de celui que vous m'avez déjà consacré.
Je vous souhaite un bon week end
je reformule l'enonce comme je crois le comprendre
Un joueur joue n fois
On cherche la plus petite valeur de n pour que la probabilite que le joueur coche au moins une bonne étoile au cours des n jeux depasse 0.5
Formulée ainsi la question aurait été plus aisée à comprendre... Mais "le plus Grand nombre entier" brouille les pistes...
Donc, on en saura plus sans doute lorsque le prof donnera la correction de ce devoir..
Alb 12 je vous renouvelle mes remerciements.
Bonjour Alb 12
Voici donc la correction complète rédigée par le prof
a) on répète 100 fois de façon indépendante une expérience aléatoire à deux issues E et E(barre) de probabilités 3/55 et 52/55
X compte le nombre de E donc X suit B(100 ; 3/55)
On doit donc chercher P(X
50)
b ) 
= E(X) = np = 100*3/55 = 60/11
= 
np(1-p) =( 624) / 11 = (439) / 11
c) n30 np5 et n(1-p)5 donc B(n;p) est très proche de N (;5²) et donc Z = (X- )/ très proche de N(0;1)
d ) p(X50) 
p((X-)/ ((50-60/11)) /(439) / 11
p(Z((50-60/11)) /(439) /11
Ainsi a = ((50-60/11))/(439)/11 19.6
e) p(Z19.6 0 d'après la calculatrice donc la probabilité qu'un joueur coche au moins une bonne étoile plus d'une fois sur deux est pratiquement nulle
f) p(n) = 0.5 équivaut à
p((X-) / (n-60/11) /(439)/11 = 0.5
p(Z(n-5.45) / 2.27 = 0.5
F(n-5.45) / 2.27 = 0.5
(n-5.45) / 2.27 = 0
n 5
Ainsi le plus grand entier cherché est 5
FIN DE CORRECTION
On peut dire que ce n'était pas facile..
Je vous souhaite une bonne journée.
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