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Loi d'une variable aléatoire
Posté par Sigma
Bonjour,
Je dois trouver la loi d'une variable, chose qui normalement ne pose pas de problème, mais sur ce coup ci, je bloque. Voici rapidement l'énoncé :
On lance une pièce n fois, si pile (probabilité de p) alors on gagne 1€, sinon (face, probabilité de 1-p) on perd 1€. La variable aléatoire Xn renseigne sur la fortune du joueur après n lancers (on commence le jeu avec 0€).
Je ne trouve que des réponses les plus bizarres les unes que les autres...
Avez-vous une idée ?
Merci d'avance.
.
lancer 1 : pile => +1€, X1 = 1
lancer 2 : pile => +1€, X2 = 2
lancer 3 : face => -1€, X3 = 1
lancer 4 : face => -1€, X4 = 0
lancer 4 : face => -1€, X4 = -1
etc etc
Donc il peut très bien gagner beaucoup d'argent ou bien en perdre pas mal... ^^
le pb n'est pas de gagner ou perdre bc mais de donner les valeurs précises prises par Xn puis de calculer la probabilité de les obtenir....
J'ai déjà creusé de ce côté (du moins, je pense) :
P(X1 = 1) = p, P(X1 = -1) = 1-p
P(X2 = 2) = p², P(X2 = 0) = 2p(1-p), P(X2 = -2) = (1-p)²
etc.
Mais je n'arrive pas à généraliser.. P(Xn = k) = ?..
Y'a des jours... J'était déjà tombé sur ce résultat lors de ma réflexion au préalable mais je l'avais abandonné parce que, avec la question qui suivait, le résultat me paraissait bien compliqué... Je m'explique :
On demande de calculer l'espérance de Xn, on a donc :
Et là, c'est un sacré bazar.. Une idée? =(
Et aussi, ce qui me chiffonne, c'est que l'on a :
Mais si je prend ça ne marche plus trop... Alors que normalement
= 0 (après avoir lancé la piece une fois, soit jai +1€ soit -1€, mais pas 0)
Effectivement, l'erreur s'est glissée pendant la mise en forme latex. Mes deux "questionnements" restent donc inchangés.
Bonjour à tous !
On peut éviter les calculs en se ramenant à une loi binomiale :
on introduit, pour k= 1,...,n, la va Gk qui vaut 1 avec la proba p et -1 avec la proba q=1-p; les Gk sont indépendantes et on a
;
on remarque que (Gk+1)/2 est une va de Bernoulli donc que Sn = 
(Gk+1)/2 est une va binomiale (n,p). Mais Sn = (Xn + n)/2, donc
Xn = 2Sn - n avec Sn Bin(n,p).
On retrouve ainsi la loi de Xn et sans calcul la valeur de E(Xn).