Annuler
connectez vous
probabilités en post-bac
- Un best-of d'exos de probabilités (après le bac)
- Équations différentielles : un Cours complet avec des exemples
- Généralités sur les matrices, applications linéaires, changement de base, rang d'une matrice - supérieur
- Ensemble et application Partie II
- Espaces vectoriels et Applications linéaires - supérieur
- Décomposition des matrices en blocs, exponentielle de matrices - supérieur
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... LicenceMaths 2e/3e a ProbabilitésTopics traitant de probabilités [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Loi d’une variable aléatoire
Posté par Yasmi16
Bonjour,
Je vous contacte pour cet énoncé :
Une puce se déplace sur le sous-ensemble (1,2,3,4) de R de la façon suivante :
a) A l'instant 0, la puce est en 1.
b) Si à l'instant n, la puce est en 1, elle sera à l'instant (n+1) sur un des quatre points avec la probabilité 1/4
c) si à l'instant n, la puce est sur un point i€(2,3,4), a l'instant (n+1) elle sera sur le point i-1.
Soit x la variable aléatoire égale au premier instant n où la puce se trouve sur le point 2. Déterminer la loi de X et son espérance.
Je ne sais pas comment commencer l'exercice
Merci d'avance
Bonne journée
Bonjour,
Quel est le nombre de sauts pour arriver en 2
- en partant de 2
- en partant de 3
-en partant de 4 ?
Avec ça on peut déterminer l'espérance du nombre de sauts pour arriver à 2 en partant de 1, en considérant ce qui se passe après le premier saut.
Bonjour,
Déjà on peut commencer par déterminer les valeurs de X.
X peut prendre 4 valeurs: 1, 2,3,4.
Je note l'événement X prend la valeur 1 ainsi
Quand est ce que cette événement arrive ?
Et bien quand à l'instant n+1, la puce est sur la case 1 et quand est ce que cela arrive: soit la puce était à l'instant n sur la case 1 et elle n'a pas bougée ce qui arrive avec une proba de 1/4.
Soit elle était sur la case 2 à l'instant n et elle est donc sur le point i-1 à savoir 1.
Là je l'ai écris en terme de mot, voici en terme d'événement
Il est facile de voir que ces événements sont indépendants d'où
Je te laisse a présent calculer
Attention pour le dernier
Une fois cela fait, tu auras déterminer la loi de X
J'aimerais juste revenir un point, c'est parce que ces événements sont incomptibles que je peux utiliser le principe d'additivité. L'indépendance concerne simplement l'intersection.
Re,
Mais je ne comprends pourquoi les valeurs seraient 1,2,3,4 alors que x est égale au premier instant ou La puce est sur le point 2
Merci
Re GBZM,
Le nombre de saut serait donc les n ?
Et bien en 2 je dirai 0
En 3 :1
Et en 4:0?
Je suis pas sure d'avoir compris
merci
Oups, en effet ça change totalement l'exercice. Désolé, j'ai lu trop vite. Dans ce cas, je ne comprends non plus très bien l'énoncé "x la variable aléatoire égale au premier instant n où la puce se trouve sur le point 2". il n'y a qu'un seul instant n, ça ne fait pas sens pour moi de dire premier instant n vu qu'il n'y a qu'un seul instant n.
Pour 4, ben non voyons ! Relis bien l'énoncé.
Si tu es en 4, tu te retrouves en 3 après un saut et en 2 après le deuxième saut.
Vantin : tu te fiches complètement dedans. X est la variable aléatoire "premier instant n où la puce est en 2". X peut prendre toutes les valeurs entières supérieures ou égales à 1.
Il faut considérer qu'on joue très longtemps, par exemple jusqu'à n=100 ; On note au fur et à mesure le parcours de la puce.
Et à la fin, on analyse tout ça :
- quand est-ce qu'elle est passée par la case 2 pour la 1ère fois, combien de fois elle est passée par la case 3, etc etc...
En fait, on parle d'espérance. Donc on essaie d'anticiper : Si je fais l'expérience, quels sont les résultats possibles, et quelle est la proba associée à chaque résultat.
Reprenons.
Après le premier saut partant de 1 :
- ou bien la puce est de nouveau en 1
- ou bien la puce est en 2 : c'est terminé
- ou bien la puce est en 3 ; avec un saut supplémentaire elle sera en 2
- ou bien la puce est en 4 ; avec ndeux sauts supplémentaires elle sera en 2
Cette simple constatation permet de calculer facilement l'espérance du nombre de sauts pour arriver en 2.
Pour calculer la loi de ce nombre de sauts, il faut se demander quels sont les parcours qui amènent pour une première fois en 2 au bout de n sauts.
- ou bien la puce est restée tout le temps en 1 avant de sauter en 2 au dernier saut
- ou bien elle est restée tout le temps en 1 avant de sauter en 3 à l'avant-dernier saut
- ou bien elle est restée tout le temps en 1 avant de sauter en 4 à l'avant-avant-dernier saut.