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Loi d'une variable aléatoire Xn

Posté par
Tortoise
23-01-17 à 14:08

Bonjour,

J'ai un exercice auquel j'ai su répondre à toutes les questions sauf la première.
Je pense que c'est la plus facile mais que je ne sais tout simplement pas l'aborder.

Voici l'énoncé :
On considère un groupe d'ampoules que l'on observe aux instants 0,1,2,3,4,...
On a 2 ampoules qui sont soit dans l'état allumé soit dans l'état grillé. On ne considère pas l'état éteint ici. A chaque instant une ampoule allumée à la proba 1/2 de rester allumée et 1/2 de griller. Une ampoule grillée reste grillée.
On note par Xn la variable aléatoire correspondant au nb d'ampoules allumées.
On remarquera que Xn peut prendre les valeurs 0,1,2 donc Xn(oméga)=(0,1,2)
A l'instant initiales, les deux ampoules sont allumées.
Les ampoules sont indépendantes l'une de l'autre.
Pour tout n appartenant à N, on introduit le vecteur colonne Un, dans M(3,1)(R) tel que

Un = (P(Xn=0) ; P(Xn=1) ; P(Xn=2))"


Question 1 :

Déterminer la loi de X0 et vérifier que E(X0)=2
Déterminer la variance de X0

Je pense que j'ai du mal à y répondre car ca m'a l'air trop évident que E(X0)=2 et je n'arrive pas à déterminer une loi puisque X0 correspondant tout simplement à l'état initial et l'énoncé nous dit qu'à l'état initial les deux ampoules sont allumées.
Pouvez-vous m'aider à déterminer la loi de X0 svp ?

Je vous remercie.

Posté par
lionel52
re : Loi d'une variable aléatoire Xn 23-01-17 à 14:24

Bah tu as entièrement raison mais c'est juste la question 1 :p

Posté par
Tortoise
re : Loi d'une variable aléatoire Xn 23-01-17 à 15:30

Oui je sais bien :p mais c'est plus la phrase de réponse que je recherche, vous écririez quoi vous à un concours ?

Posté par
lionel52
re : Loi d'une variable aléatoire Xn 23-01-17 à 15:34

X0  est constante et vaut donc 2 avec probabilité 1 donc E[X0] = 2 et V(X0) = 0
Rien de plus à écrire. :p

Posté par
Tortoise
re : Loi d'une variable aléatoire Xn 12-02-17 à 01:18

Je ne passe que maintenant mais merci beaucoup pour ta réponse !

Posté par
flight
re : Loi d'une variable aléatoire Xn 12-02-17 à 10:53

salut

à verifier sous reserve d'erreur

P(Xn+1=0) = 1.P(Xn=0) + 1/8.P(Xn=1) + 1/2.P(Xn=2)
P(Xn+1=1) = 0.P(Xn=0) + 1/8.P(Xn=1) + 1/2.P(Xn=2)
P(Xn+1=2) = 0.P(Xn=0) +      0.P(Xn=1) + 1/2.P(Xn=2)

avec la condition initiale (P(Xo=0) , P(Xo=1), P(Xo=2))=(0 , 0, 1)

E(Xo) = 0.P(Xo=0) + 1.P(Xo=1) + 2.P(Xo=2)= 0 + 0 + 2.1 = 2



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