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Loi de Cauchy

Posté par
Kurenay 06-06-18 à 04:26

Bonsoir,
Soit(Xn)n1 une suite de variables aléatoires définies sur un espace de probabilité (\Omega,A,P) , indépendantes et de même loi de Cauchy de paramètre 1. Soit Mn=Max(X1,...,Xn)

1)Déterminer la fonction de répartition de Mn
Soit \  t \in \R, \\ F_{M_n}(t)=P(Max(X_1,...,X_n)\leq t) = [P(X_1 \leq t)]^n \ car \ iid \\ \\ F_{M_n}(t)=[\frac{1}{\pi}(arctan(t)+\frac{\pi}{2})]^n
2)Montrer que \frac{1}{n^2}M_n converge en probabilité vers 0
arctan(t) \sim \frac{\pi}{2} - \frac{1}{t} +o(\frac{1}{t}) \\ \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n^2}M_n \sim \lim _{n \rightarrow +\infty}[\frac{1-\frac{1}{t\pi}}{n^2}]^n =0 \ car \ \frac{1-\frac{1}{t\pi}}{n^2} \in ]0,1[

3)Montrer que \frac{1}{n}M_n converge en loi quand n tend vers + \infty. Expliciter la loi limite

Merci

Posté par
verdurinre : Loi de Cauchy 06-06-18 à 19:28

Bonsoir,
il y a une faute de frappe dans l'expression de F_{M_n}(t) :

F_{M_n}(t)=\Bigl(\frac1\pi\arc\tan(t)+\frac12\Bigr)^n

Je ne comprends pas ta démonstration pour le 2). Ce qui veut dire que je crois qu'elle est fausse.

La question est : montrer que

\forall t\in\R\quad\lim_{n\to \infty} F_{M_n}(n^2t)=0

Et je ne vois pas en quoi tu y réponds.

Posté par
verdurinre : Loi de Cauchy 06-06-18 à 21:59



je viens de relire mon message . . .



Citation :
La question est : montrer que

\forall t\in\R^{*+}\quad\lim_{n\to \infty} F_{M_n}(n^2t)-F_{M_n}(-n^2t)=1
Ce qui reviens à montrer que

\forall t\in\R^{*+}\quad\lim_{n\to \infty} F_{M_n}(n^2t)=1.

Avec toutes mes excuses.

Posté par
Kurenayre : Loi de Cauchy 07-06-18 à 00:49

Bonsoir, merci pour votre réponse.
1) Dans mon cours, j'ai que la fonction de répartition d'une loi de Cauchy de paramètre \theta :  \frac{1}{\pi}arctan(\frac{t}{ \theta })+\frac{1}{2}

2) Je ne comprends pas trop pourquoi c'est ça qu'il faut montrer
\\ \lim_{n\rightarrow +\infty}arctan(n^2t) = \frac{\pi}{2} \\ \\ \lim_{n\rightarrow +\infty}arctan(-n^2t) = -\frac{\pi}{2} \\ \lim_{n\rightarrow +\infty } [\frac{1}{\pi}(arctan(n^2t)+\frac{1}{2}]^n-[\frac{1}{\pi}(arctan(-n^2t)+\frac{1}{2}]^n = 1-0 =1 \\

3)En utilisant le même raisonnement que la q2, je montre que \frac{1}{n}M_n converge en proba vers 0 et convergence en proba   convergence en loi

Posté par
verdurinre : Loi de Cauchy 08-06-18 à 11:12

Avec un peu de retard.

Je crois que tu oublies l'exposant n dans la fonction de répartition.

En particulier
\\ \lim_{n\to\infty} \Bigl(\frac1\pi\arctan(nt)+\frac12\Bigr)^n=\lim_{n\to\infty} \Bigl(1-\frac1\pi\arctan(\frac1{nt})\Bigr)^n\neq0

Posté par
verdurinre : Loi de Cauchy 08-06-18 à 11:22


Je fais trop de fautes de frappes et je ne me relis pas assez.

Je viens de voir pour \tan et \arctan.

Et le résultat que j'ai donné juste au dessus est juste mais peu intéressant.

La limite est strictement inférieure a 1 pour t>0.

Posté par
verdurinre : Loi de Cauchy 08-06-18 à 11:43

Pour m'excuser voici une représentation graphique de la densité de la loi limite de \frac1n M_n.

Loi de Cauchy

Bien entendu cette densité est nulle pour les valeurs négative de la variable.

Posté par
Kurenayre : Loi de Cauchy 09-06-18 à 04:26

Merci pour le graphique, on voit que la loi limite converge vers 0 mais comment l'expliciter, ça je ne vois pas  
Et également je n'arrive pas à comprendre pourquoi la limite est strictement inférieure à 1 pour t>0.

Posté par
verdurinre : Loi de Cauchy 09-06-18 à 20:33

La loi limite ne converge pas vers 0 : elle est ce qu'elle est.

Pour rependre la question 2.
Je pose C_n=\frac1{n^2}M_n

On a de façon évidente \text{P}(C_n\leqslant t)=\text{P}(M_n\leqslant n^2t)

En utilisant le résultat de la question 1

\text{P}(C_n\leqslant t)=\bigl(\frac1\pi \arctan(n^2t)+\frac12\bigr)^n

On remarque que \frac1\pi \arctan(n^2t)+\frac12=1-\frac1\pi\arctan(\frac1{n^2t})

Donc

\text{P}(C_n\leqslant t)=\Bigl(1-\frac1\pi\arctan(\frac1{n^2t})\Bigr)^n

On fait un DL quand n tend vers l'infini

\text{P}(C_n\leqslant t)=\Bigl(1-\frac1\pi\cdot\frac1{n^2t}+o(\frac1{n^2})\Bigr)^n

Enfin on sait, ou on démontre, que

\forall a\in \R\quad\lim_{n\to \infty}\bigl(1+\frac{a}{n^2}\bigr)^n=1

Posté par
Kurenayre : Loi de Cauchy 10-06-18 à 23:17

2) D'accord si j'ai bien compris, la demo prouve que \lim_{n\rightarrow \infty}F_{M_n}(n^2t)=1 comme voulu précédemment. Mais je ne trouve pas dans mon cours la propriété qui fait le lien entre cela et la convergence en proba vers 0.

3) J'ai essayé de refaire votre méthode mais je tombe sur
lim_{n \rightarrow\infty}F_{M_n}(nt)= \lim_{n\rightarrow \infty}(e^a)^n \forall a \in \R et ça converge que si a<0. Donc il y a sûrement une autre méthode

Posté par
verdurinre : Loi de Cauchy 11-06-18 à 11:53

On sait que \text{P}(X_i<0)=\frac12 et donc que \text{P}(M_n<0)=\bigl(\frac12\bigr)^n.

Il en découle que \lim_{n\to\infty}\text{P}(M_n<0)=0.
Il en est évidement de même pour C_n=\frac1{n^2}M_n.

Ensuite on a, quelque soit t>0,

\lim_{n\to\infty}\text{P}(C_n\leslant t)=1

Ce qui peut s'écrire \lim_{n\to\infty}\text{P}(C_n>t)=1-1=0

En conclusion \lim_{n\to\infty}\text{P}(C_n\neq 0)=0 d'où \lim_{n\to\infty}\text{P}(C_n= 0)=1.


Pour la question 3 on traite de la même façon le cas t<0.
Ensuite on trouve une loi de répartition limite qui vaut 0 quand t<0 et qui est bien une exponentielle pour t>0.

Posté par
Kurenayre : Loi de Cauchy 12-06-18 à 03:07

2) Merci, j'ai eu du mal mais j'ai enfin compris

3) Je trouve pour t>0 que \lim_{n\rightarrow \infty} P(\frac{1}{n}M_n \leq t) = e^{ -\frac{1}{\pi t}}

Posté par
verdurinre : Loi de Cauchy 12-06-18 à 15:28

Je trouve la même chose.

Posté par
Kurenayre : Loi de Cauchy 12-06-18 à 19:39

Parfait, merci pour votre aide !!

Posté par
verdurinre : Loi de Cauchy 12-06-18 à 20:40

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