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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Loi de composition interne

Posté par
98765432
23-01-21 à 18:56

Bonjour,
J'ai une loi * tel que : x * y = (x+y)/(1+xy) pour tout x,y ∈ ]-1,1[. Et je dois montrer que c'est une loi de composition interne. J'ai commencé par écrire que : -1<x<1 et -1<y<1 donc que -2<x+y<2 mais pour xy je ne sais pas trop comment faire. Pourriez-vous m'aider svp.

Posté par
carpediem
re : Loi de composition interne 23-01-21 à 19:02

salut

soit tu distingues quatre cas :

0 < x < 1 et 0  < y < 1

0 < x < 1 et -1 < y < 0

-1 < x < 0 et 0 < y < 1

-1 < x < 0 et -1 < x < y

et tu encadres le produit dans chaque cas ... avec la règle apprise au collège :  0 \le a \le b $ et $ 0 \le c \le d \Longrightarrow 0 \le ac \le bd

soit tu réfléchis et tu résumes ces quatre cas de façon pertinente ...

Posté par
matheuxmatou
re : Loi de composition interne 23-01-21 à 19:05

bonsoir

peut-être en bloquant y comme paramètre dans ]-1 ; 1[ et en étudiant la fonction

f_y(x) = \dfrac{x+y}{1+xy}

sur ]-1 ; 1[

non ?

Posté par
matheuxmatou
re : Loi de composition interne 23-01-21 à 19:08

(ah ben il est parti ! ... bonsoir Carpi ... posts croisés ... )

Posté par
carpediem
re : Loi de composition interne 23-01-21 à 19:13

on peut aussi remarquer que xy + 1 = (x + 1)(y + 1) - x - y qui est alors très facile à encadrer ...


PS : je t'invite à faire ce que je t'ai proposé (deux méthodes) pour poursuivre ta méthode ... et te rendre compte que ta méthode d'encadrer numérateur et dénominateur puis quotienter ne marchera pas : trop de liberté ...

Posté par
matheuxmatou
re : Loi de composition interne 23-01-21 à 19:14

(puis d'essayer la mienne qui donne très rapidement le résultat )

c'est toujours bien de tester plusieurs méthodes, le cerveau se construit comme ça

Posté par
carpediem
re : Loi de composition interne 23-01-21 à 19:14

salut MM ... no problemo

Posté par
98765432
re : Loi de composition interne 23-01-21 à 19:51

Je vais essayer les différentes méthodes. Merci pour vos réponses.

Posté par
lafol Moderateur
re : Loi de composition interne 23-01-21 à 23:48

Bonjour
si on connaît la fonction tangente hyperbolique, on peut aussi s'en servir , en posant x = th a, y = th b et en remarquant que x*y vaut alors th(a+b)

Posté par
matheuxmatou
re : Loi de composition interne 23-01-21 à 23:53

c'est pas mal non plus lafol

Posté par
veleda
re : Loi de composition interne 24-01-21 à 10:53

bonjour
on peut aussi calculer
(f(x,y))² -1



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