Bonjour à tous!
Connaissez-vous ce vieil exercice?

(H) est une hyperbole et A un point fixé sur (H).
Si M et N sont deux points de (H) on note D la droite MN (si M=N, on prend pour D la tangente en M à (H)).
On mène par A la parallèle D' à D.
Si D' recoupe (H) en P distinct de A, on pose P=M*N.
Si D' est tangente en A à (H), on pose A=M*N.

Montrer que (H) muni de la loi * a une structure de groupe isomorphe au groupe multiplicatif des réels non nuls.