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Loi de proba à déterminer

Posté par
matheux14 17-01-23 à 21:21

Bonsoir,

Merci d'avance.

La durée de fonctionnement d'une certaine machine mesurée en jours est une variable aléatoire réelle T dont la densité de probabilité est :

f(x) = \begin{cases} k e^{-\rho t} \text{ si } t \ge 0 \\\ 0 ~~~~~ \text{sinon} \end{cases}

1) Exprimer k en fonction de \rho. De quelle loi de probabilité s'agit-il ?

2) Soit t > 0, ~s > 0. Calculer P(T > t + s~ | ~ T > t). Interpréter.

3) Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire Y = X^2. En déduire sa densité de probabilité.

Aucune idée de comment faire pour exprimer k en fonction de \rho

Posté par
Vassilliare : Loi de proba à déterminer 17-01-23 à 21:33

Rebonjour matheux14, quelles conditions doit vérifier une fonction pour être une densité de probabilités ?

Posté par
matheux14re : Loi de proba à déterminer 17-01-23 à 21:58

Pour que la fonction f_X : \R \to \R soit une densité de probabilités, il faut que :

(1) f_X(x) \ge 0, \forall x \in \R

(2) f est continue par morçeaux.

(3) \int^{+ \infty}_{- \infty} f_X(t) dt = 1

Posté par
Vassilliare : Loi de proba à déterminer 17-01-23 à 22:09

Certes, à toi de vérifier ces conditions pour en déduire l'expression demandée.

Posté par
matheux14re : Loi de proba à déterminer 17-01-23 à 22:32

f(x) = \begin{cases} k e^{-\rho x} \text{ si } x \ge 0 \\\ 0 ~~~~~ \text{sinon} \end{cases}

* Donc \forall x \in \R, f(x) \ge 0 si la constante k > 0.

* \forall x \le 0, f(x) = 0 et \forall x \ge 0, f(x) = k e^{- \rho x} donc f est continue par morceaux.

* \int^{+ \infty}_{- \infty} f(x) dx  = \int^{0}_{- \infty} f(x) dx + \int^{+ \infty}_0 f(x) dx = 0 + \int^{+ \infty}_0 ke^{- \rho x} dx

= k \left[-\dfrac{e^{-\rho x}}{\rho}\right]^{+ \infty}_0

= \dfrac{k}{\rho} \left[\lim\limits_{x \to + \infty} (- e^{-\rho x}) - [\lim\limits_{x \to + 0}-(e^{-\rho x})] \right]

= \dfrac{k}{\rho}(0 - ( - 1))

= \dfrac{k}{\rho}

Donc \int^{+ \infty}_{- \infty} f(x) dx = 1 \iff \dfrac{k}{\rho} = 1 \iff k = \rho

Posté par
Vassilliare : Loi de proba à déterminer 17-01-23 à 23:00

Parfait, tu vois donc que tu avais tous les éléments pour le faire tout seul, je ne t'ai absolument rien appris
A toi de continuer l'exercice  

Posté par
matheux14re : Loi de proba à déterminer 17-01-23 à 23:37

2) Soit A : " T > t + s " et B : " T > t "

P(T > t + s~ | ~ T > t) = P(A | B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}

Posté par
Vassilliare : Loi de proba à déterminer 17-01-23 à 23:54

D'accord mais on te demande de le calculer, à toi d'écrire la condition résultante de (T>t+s) et (T>t). Tu dois aussi savoir quelle est la fonction de répartition de la loi de probabilités que tu as identifié à la question 1 (ou sinon tu la recalcules), elle te permettra de trouver la probabilité du numérateur et celle du dénominateur.

Posté par
matheux14re : Loi de proba à déterminer 18-01-23 à 00:02

Il s'agit d'une loi exponentielle et la fonction de repartition est définie par

f(x) = \begin{cases} \rho e^{-\rho x} \text{ si } x \ge 0 \\\ 0 ~~~~~ \text{sinon} \end{cases}

(T>t+s) et (T>t) \Longrightarrow T > t + s car t > 0, s > 0

Posté par
Vassilliare : Loi de proba à déterminer 18-01-23 à 00:18

Tu viens de donner la densité de probabilités, pas la fonction de répartition or c'est la fonction de répartition qui va te permettre de calculer P(T>t+s) et P(T>t)

Posté par
matheux14re : Loi de proba à déterminer 18-01-23 à 00:38

F_X (x) = P(X \le x)

C'est la formule que j'ai dans mon cours.

Posté par
Vassilliare : Loi de proba à déterminer 18-01-23 à 01:04

Si tu ne connais pas la fonction de répartition spécifique à la loi exponentielle, ce n'est pas grave, tu peux toujours calculer les probabilités demandées avec une intégrale de la densité de probabilités entre des bornes bien choisies.

Posté par
matheux14re : Loi de proba à déterminer 18-01-23 à 06:58

F_X(x) = 1 - e^{-\rho x}

Posté par
matheux14re : Loi de proba à déterminer 18-01-23 à 08:18

Citation :
tu peux toujours calculer les probabilités demandées avec une intégrale de la densité de probabilités entre des bornes bien choisies.


P(T > t + s | T > t) = \int^{t + s}_t 1 - e^{-\rho x} dx ?


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