Niveau exercices

loi de probabilité

Posté par
flight 06-12-22 à 22:48

Bonsoir

je vous propose l'exercice suivant :

soit X une variable alaeatoire suivant une loi uniforme continue sur [0,2] , Quelle est la loi de la variable aleatoire Z = min(X , 1-X) ?
Quelle est son esperance ?

Posté par re : loi de probabilité 07-12-22 à 18:42

Bonsoir,

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Posté par re : loi de probabilité 08-12-22 à 18:07

Bonsoir Verdurin ...c'est bien ca , bravo

Posté par re : loi de probabilité 08-12-22 à 18:12

Bonsoir,

Pourriez-vous détailler cette solution s'il vous plaît ?

Posté par re : loi de probabilité 08-12-22 à 19:54

Salut matheux14.
On commence par étudier $\min( x\: ; 1-x)$ pour $x$ entre 0 et 2. Ici $x$ n'est pas la variable aléatoire X mais un réel.

On a $\min( x\: ; 1-x)=\begin{cases}x&\text{si }0\le x\le1/2 \\1-x&\text{si }1/2\le x\le 2\end{cases}$
Un dessin
loi de probabilité

Il est alors clair que si t est négatif ( entre -1 et 0 ) $P(Z<t)=P(X>1+t)=\dfrac{1+t}2$

Si t est positif ( entre 0 et 1/2 ) on a $P(Z<t)=P(X<t)+P(X>1-t)=\frac{t}2+1-\frac{1-t}2=\frac{1+2t}2$ .

On en déduit que la densité f(t) de Z vaut 1/2 sur [-1;0[ et 1 sur ]0;1].

Il reste à calculer l'intégrale de -1 à 1/2 de tf(t), ce qui est assez simple.