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Loi de probabilité et Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Posté par
carliii
26-05-21 à 15:48

Bonjour,
J'ai un exercice à faire que j'ai du mal à comprendre, car on nous indique qu'il faut utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, mais j'ai l'impression qu'elle ne correspond pas à notre besoin. Voici l'énoncé :
On lance n fois un dé. On note Fn = Xn/n. où Xn est la variable aléatoire égale au nombre d'apparition du six.
1. Quelle est la loi de Fn ? Donner l'expression de son espérance et de sa variance.
2. Trouver n tel que P(|Fn-1/6|<0.99)>=0.99

Pour la question 1, je ne sais pas trop comment trouver la loi de Fn, mais j'ai déterminé E(Fn) = 1/6 et V(Fn) = 5/36n.
Pour la question 2, mon problème est que je sais qu'il faut utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, mais celle-ci est :
P(|X-E(X)| >= n*sigma) <= 1/n^2
On a donc les signes inverses...
Comment puis-je procéder ? Merci pour votre aide

Posté par
carpediem
re : Loi de probabilité et Inégalité de Bienaymé-Tchebychev 26-05-21 à 15:58

salut

1/ quelle est la loi de X_n ?

2/ que peux-tu dire des événements {|F - E(F)| < t} et {|F - E(F)| > t} ?

Posté par
carliii
re : Loi de probabilité et Inégalité de Bienaymé-Tchebychev 26-05-21 à 19:20

1- Xn est une loi binomiale de paramètres n ; 1/6 selon moi
2- Ces évènement sont complémentaires

Posté par
carpediem
re : Loi de probabilité et Inégalité de Bienaymé-Tchebychev 26-05-21 à 19:43

1/ ok

donc F_n suit la loi de la fréquence associée mais cette loi n'a pas de nom définie ...

elle est simplement entièrement déterminée par la loi de X_n (et tu en as donnée ses deux parmètres principaux d'ailleurs)

2/ ok ... donc ?

mais n'as-tu pas une formule plus générale pour l'inégalité de Bienaimé-Tchebytchev ?

Posté par
carliii
re : Loi de probabilité et Inégalité de Bienaymé-Tchebychev 26-05-21 à 21:39

Est ce que je pourrais dire que 1-P(|Fn-1/6|>=0.99)>= 0.99  et passer le 1 de l'autre côté?

Posté par
carpediem
re : Loi de probabilité et Inégalité de Bienaymé-Tchebychev 26-05-21 à 22:59

ben oui ... mais passer de l'autre côté ne veut rien dire ...

Posté par
flight
re : Loi de probabilité et Inégalité de Bienaymé-Tchebychev 27-05-21 à 16:53

salut

avec  la formule generale :

P(|X - E(X)|)V(X)/²   il te suffit par identification de trouver que  vaut
et comme tu a deja calculé la variance ressortir n est tres facile

Posté par
flight
re : Loi de probabilité et Inégalité de Bienaymé-Tchebychev 27-05-21 à 16:59

à noter que Fn=Xn/n  joue  le rôle de X dans la formule générale



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