Bonjour, j'aurais besoin de votre aide pour mon exercice d'algèbre au sujet de la loi de réciprocité quadratique et du symbole de Legendre et de Jacobi.
Montrer que
pour p et q premiers impairs implique le résultat pour p et q impairs quelconque premiers entre eux sachant que le symbole de Jacobi est multiplicatif « en haut » et que (s-1)/2 + (t-1)/2 congrue à (st-1)/2 mod 2 et que congrue à mod 2 avec s et t des entiers impairs premiers
Ce que j'ai fais
Si on pose et alors on a
produit sur i et j de
Maintenant je suis bloquée et je n'arrive pas à utiliser les indications donc votre aide est la bienvenue !
Tu as la loi si ou vaut 2 ?
Ensuite, supposons que tu es démontré.e le résultat .
Comment calculerait-tu ?
Ce sont des premières pistes qui pourront te débloquer !
Qu'entendez-vous par la loi pour p ou q vaut 2 ? Je ne sais pas si c'est que vous vouliez dire mais on a que pour un nombre premier impair.
Ici on sait qu'aucun des pi ou qj ne vaut 2 comme m et n sont supposés impairs donc je ne comprends pas trop comment utiliser votre remarque...
Je ferais ceci :
Vu que la remarque de la question te donne un résultat sur et que ceci apparaît pour , je t'ai posé cette question pour que tu essayes de comprendre où on pourrait utiliser cette indication !
Ensuite comment tu justifie
Ok !
Maintenant on peut revenir à
Maintenant à fixé, est-ce que je peux mettre quelque chose en facteur dans la somme sur ?
Histoire de pouvoir utiliser les indications de l'énoncé …
Pas tout à fait ... Si j'utilise l'indication j'ai que c'est égale à si je ne me trompe pas mais ensuite je ne vois pas comment conclure
Mais donc il faut distinguer selon la parité de s et r pour pouvoir faire des paquets de 2 et appliquer l'indication ?
Oh mais que suis-je bête ! Je l'ai d'ailleurs dis dans ma copie que la démonstration n'utilisait pas la primalité.. je ne sais pas si vous pourrez également m'aider pour cette question :
Soit une racine primitive p ième de l'unité et une racine primitive q ieme . Soit K={1,..,(q-1)/2} et L={1,...,(p-1)/2}. Sachant que et montrer que
J'ai réussi à montrer que
Mais je n'arrive pas à éliminer les termes en trop...
Tu y es en fait presque , mais la confusion vient d'une erreur que tu as commis .
Est ce que ça c'est bon ?
Le cas b=0 on peut le « supprimer » car on obtient le terme 1 et c'est neutre pour le produit et L c'est la « moitié » de {1,...,p-1} ?
Mais je ne comprends pourquoi on ne peut pas mettre en facteur dans un produit et dans quel cas on peut
Je corrige mon avant dernier message et je pense avoir avancer.
maintenant il me reste à comprendre comment faire apparaître L..
J'avoue ne pas avoir la solution complète cette fois …
Mais bon on peut essayer de réfléchir !
En utilisant que est une racine primitive , on a
Et donc on en déduit une relation entre et
J'obtiens que et de là je peux montrer que de là on se rend compte que pour on a tel que et donc Et donc on en déduit maintenant reste à comprendre comment utiliser cette relation
En faisant le produit de ce qu'on a obtenu sur les , on retrouve une expression de .
Ce qui permet de conclure que
J'essaye de voir comment poursuivre
Bonsoir Zrun. J'ai contacté mon professeur et comme je commençais à m'en douter, il y a une erreur dans l'énoncé, nous avions donc en fait fini arrivés là. Merci énormément à vous pour votre aide !
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