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Niveau Master Maths
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Loi de réciprocité quadratique

Posté par
loulouetlilou
22-12-21 à 15:59

Bonjour, j'aurais besoin de votre aide pour mon exercice d'algèbre au sujet de la loi de réciprocité quadratique et du symbole de Legendre et de Jacobi.
Montrer que
\left( \frac{p}{q} \right)* \left( \frac{q}{p} \right) =(-1)^{(p-1)(q-1)/4}pour p et q premiers impairs implique le résultat pour p et q impairs quelconque premiers entre eux sachant que le symbole de Jacobi est multiplicatif « en haut » et que (s-1)/2 + (t-1)/2 congrue à (st-1)/2 mod 2 et que (s^2-1)/8+(t^2-1)/8 congrue à (s^2t^2-1)/8 mod 2  avec s et t des entiers impairs premiers
Ce que j'ai fais
Si on pose n=p_1 *...*p_r et m=q_1 * ....*q_s alors on a
\left( \frac{m}{n} \right)* \left( \frac{n}{m} \right)=produit sur i et j de (-1)^{(p_i-1)(q_j-1)/4}
Maintenant je suis bloquée et je n'arrive pas à utiliser les indications donc votre aide est la bienvenue !

Posté par
Zrun
re : Loi de réciprocité quadratique 23-12-21 à 10:37

Tu as la loi si p ou q vaut 2 ?
Ensuite, supposons que tu es démontré.e le résultat .
Comment calculerait-tu (\dfrac{70}{27}) ?
Ce sont des premières pistes qui pourront te débloquer !

Posté par
loulouetlilou
re : Loi de réciprocité quadratique 23-12-21 à 14:24

Qu'entendez-vous par la loi pour p ou q vaut 2 ? Je ne sais pas si c'est que vous vouliez dire mais  on a que \left(\frac{2}{p} \right)=(-1)^{(p^2-1)/8} pour p un nombre premier impair.

Ici on sait qu'aucun des pi ou qj ne vaut 2 comme m et n sont supposés impairs donc je ne comprends pas trop comment utiliser votre remarque...

Je ferais ceci :
\left(\frac{70}{27} \right)=\left(\frac{16}{27} \right)=\left(\frac{2}{27} \right)^{4}=\left(\frac{2}{3} \right)^{4\times 3}=((-1)^{(3^2-1)/8})^{12}=1

Posté par
Zrun
re : Loi de réciprocité quadratique 23-12-21 à 18:34

Vu que la remarque de la question te donne un résultat sur \frac{p^2-1}{8} et que ceci apparaît pour p = 2, je t'ai posé cette question pour que tu essayes de comprendre où on pourrait utiliser cette indication !

Ensuite comment tu justifie

loulouetlilou @ 23-12-2021 à 14:24


\left(\frac{2}{27} \right)^{4}=\left(\frac{2}{3} \right)^{4\times 3}

Posté par
loulouetlilou
re : Loi de réciprocité quadratique 23-12-21 à 21:56

Désolée mais Je ne vois toujours pas...

J'utilise juste la définition du symbole de Jacobi car on a 27=3^3

Posté par
Zrun
re : Loi de réciprocité quadratique 23-12-21 à 23:30

Ok !
Maintenant on peut revenir à

loulouetlilou @ 22-12-2021 à 15:59


Si on pose n=p_1 *...*p_r et m=q_1 * ....*q_s alors on a
\left( \frac{m}{n} \right)* \left( \frac{n}{m} \right)=produit sur i et j de (-1)^{(p_i-1)(q_j-1)/4}
Maintenant je suis bloquée et je n'arrive pas à utiliser les indications donc votre aide est la bienvenue !


Que se passe-t-il si je fait le produit sur i d'abord puis sur j. Est-ce que je peux faire apparaître une somme dans la puissance de -1 ?

Posté par
loulouetlilou
re : Loi de réciprocité quadratique 24-12-21 à 12:27

Oui ça fait (-1)^{\sum_{i=1}^{r}{\sum_{j=1}^{s}{(p_i-1)(q_j-1)/4}}}

Posté par
Zrun
re : Loi de réciprocité quadratique 24-12-21 à 14:18

Maintenant à i fixé, est-ce que je peux mettre quelque chose en facteur dans la somme sur j ?
Histoire de pouvoir utiliser les indications de l'énoncé …

Posté par
loulouetlilou
re : Loi de réciprocité quadratique 26-12-21 à 15:49

On peut mettre en facteur (p_i-1)/2 ?

Posté par
Zrun
re : Loi de réciprocité quadratique 26-12-21 à 17:58

loulouetlilou @ 26-12-2021 à 15:49

On peut mettre en facteur (p_i-1)/2 ?

Effectivement, et ça permet de conclure avec l'indication , le vois-tu ?

Posté par
loulouetlilou
re : Loi de réciprocité quadratique 26-12-21 à 21:34

Pas tout à fait ... Si j'utilise l'indication j'ai que c'est égale à  (-1)^{\sum_{i=1}^{r}{\sum_{j=1}^{s}{(p_i*q_j-1)/2}}} si je ne me trompe pas mais ensuite je ne vois pas comment conclure

Posté par
Zrun
re : Loi de réciprocité quadratique 27-12-21 à 09:53

Non attention !
Par exemple si s=2, et r =1 , on a
(-1)^{(p-1)[(q_1-1)+(q_2-1)]/4 }= (-1)^{(p-1)(q-1)/4}

Posté par
loulouetlilou
re : Loi de réciprocité quadratique 27-12-21 à 10:49

Mais donc il faut distinguer selon la parité de s et r pour pouvoir faire des paquets de 2 et appliquer l'indication ?

Posté par
Zrun
re : Loi de réciprocité quadratique 27-12-21 à 12:30

Pas vraiment non …
Que se passe-t-il si s=3 et r=1 ?

Posté par
loulouetlilou
re : Loi de réciprocité quadratique 27-12-21 à 13:33

On a
(-1)^{(p-1)[(q_1-1)+(q_2-1)+(q_3-1)]/4 }= (-1)^{(p-1)((q_1q_2-1)/4+(q_3-1)/4)} mais je ne sais pas comment continuer pour q_3

Posté par
Zrun
re : Loi de réciprocité quadratique 27-12-21 à 19:56

Réutilise l'indication avec q_1q_2 et q_3

Posté par
loulouetlilou
re : Loi de réciprocité quadratique 27-12-21 à 20:53

Mais je ne peux pas car q_1q_2 n'est pas premier  ?

Posté par
Zrun
re : Loi de réciprocité quadratique 27-12-21 à 21:03

Est-ce que le résultat donné est seulement vrai pour des nombres premiers ?
Essaye de le montrer

Posté par
loulouetlilou
re : Loi de réciprocité quadratique 27-12-21 à 21:44

Oh mais que suis-je bête ! Je l'ai d'ailleurs dis dans ma copie que la démonstration n'utilisait pas la primalité.. je ne sais pas si vous pourrez également m'aider pour cette question :
Soit \xi une racine primitive p ième de l'unité et \chi une racine primitive q ieme . Soit K={1,..,(q-1)/2} et L={1,...,(p-1)/2}. Sachant que \left(\frac{p}{q} \right)=\prod_{a \in K}{\frac{\eta^{pa} - \eta ^{pa}}{\eta ^a -\eta ^{-a}}} et x^p-x^{-p} =\prod_{b \in \{0, \cdots , p-1 \} }{(x \xi^b -x^{-1}\xi^{-b}) } montrer que
\left(\frac{p}{q} \right)=\prod_{a\in K b \in L}{ \eta^a\xi^b-\eta^{-a}\xi^{-b}
J'ai réussi à montrer que
\left(\frac{p}{q} \right)=\prod_{a \in K , b\in \{0,...,p-1 \}}{\frac{ \eta^a\xi^b-\eta^{-a}\xi^{-b}}{\eta^a-\eta^{-a}}}
Mais je n'arrive pas à éliminer les termes en trop...

Posté par
loulouetlilou
re : Loi de réciprocité quadratique 27-12-21 à 21:51

(Le premier \chi est à remplacer par \eta)

Posté par
Zrun
re : Loi de réciprocité quadratique 27-12-21 à 22:09

Tu y es en fait presque , mais la confusion vient d'une erreur que tu as commis .

loulouetlilou @ 27-12-2021 à 21:44


\left(\frac{p}{q} \right)=\prod_{a \in K , b\in \{0,...,p-1 \}}{\frac{ \eta^a\xi^b-\eta^{-a}\xi^{-b}}{\eta^a-\eta^{-a}}}

Ceci est faux, on ne peut pas mettre en facteur dans un produit !

Sinon regarde la valeur b=0 et l'ensemble L

Posté par
loulouetlilou
re : Loi de réciprocité quadratique 27-12-21 à 22:17

Est ce que ça c'est bon ?
\left(\frac{p}{q} \right)=\prod_{a \in K } \prod_{b\in \{0,...,p-1 \}}{\frac{ \eta^a\xi^b-\eta^{-a}\xi^{-b}}{\eta^a-\eta^{-a}}}

Le cas b=0 on peut le « supprimer » car on obtient le terme 1 et c'est neutre pour le produit et L c'est  la « moitié » de {1,...,p-1}  ?

Posté par
loulouetlilou
re : Loi de réciprocité quadratique 27-12-21 à 22:20

Mais je ne comprends pourquoi on ne peut pas mettre en facteur dans un produit et dans quel cas on peut

Posté par
loulouetlilou
re : Loi de réciprocité quadratique 27-12-21 à 22:42

Je corrige mon avant dernier message et je pense avoir avancer.
\left(\frac{p}{q} \right)=\prod_{a \in K } {\frac{\prod_{b\in \{0,...,p-1 \}}{ \eta^a\xi^b-\eta^{-a}\xi^{-b}}}{\eta^a-\eta^{-a}}}= \prod_{a \in K } \prod_{b\in \{1,...,p-1 \}}{ \eta^a\xi^b-\eta^{-a}\xi^{-b}}} maintenant il me reste à comprendre comment faire apparaître L..

Posté par
Zrun
re : Loi de réciprocité quadratique 28-12-21 à 11:47

J'avoue ne pas avoir la solution complète cette fois …

Mais bon on peut essayer de réfléchir !

En utilisant que \xi est une racine primitive , on a \xi^{(p-1)/2} = …
Et donc on en déduit une relation entre \prod_{b \in \{(p+1)/2, …, p-1 \} } \eta^a\xi^b - \eta^{-a}\xi^{-b} et \prod_{b \in L } \eta^a\xi^b - \eta^{-a}\xi^{-b}

Posté par
Zrun
re : Loi de réciprocité quadratique 28-12-21 à 11:48

Il manque des … qui ne se sont pas affichés dans le premier produit !

Posté par
loulouetlilou
re : Loi de réciprocité quadratique 28-12-21 à 22:18

J'obtiens que \xi^{p-1}=\xi ^{-1} et de là je peux montrer que \xi^{(p-1)/2}=\xi ^{-(p+1)/2} de là on se rend compte que pour b \in L on a c \in \{(p+1)/2, \cdots, p-1) tel que \xi^b=\xi^{-c} et donc \xi^{-b}=\xi^{c} Et donc on en déduit \prod_{b \in \{(p+1)/2, \cdots, p-1 \} } \eta^a\xi^b - \eta^{-a}\xi^{-b} = (-1)^{(p-1)/2} \prod_{b \in L } \eta^a\xi^b - \eta^{-a}\xi^{-b} maintenant reste à comprendre comment utiliser cette relation

Posté par
Zrun
re : Loi de réciprocité quadratique 28-12-21 à 22:40

En faisant le produit de ce qu'on a obtenu sur les a \in K, on retrouve une expression de (\frac{p}{q}).

Ce qui permet de conclure que
\left(\frac{p}{q} \right)=\prod_{a\in K b \in L}{ \eta^a\xi^b-\eta^{-a}\xi^{-b} \in \{-1,1\}
J'essaye de voir comment poursuivre

Posté par
loulouetlilou
re : Loi de réciprocité quadratique 28-12-21 à 22:50

Oui en fait j'ai que

 \left( \frac{p}{q} \right)= \prod_{a \in K} (-1)^{(p-1)/2} \prod_{b \in L } (\eta^a\xi^b - \eta^{-a}\xi^{-b})^2 mais je sais pas comment finir

Posté par
loulouetlilou
re : Loi de réciprocité quadratique 29-12-21 à 23:48

Bonsoir Zrun. J'ai contacté mon professeur et comme je commençais à m'en douter, il y a une erreur dans l'énoncé, nous avions donc en fait fini arrivés là. Merci énormément à vous pour votre aide !

Posté par
Zrun
re : Loi de réciprocité quadratique 30-12-21 à 00:16

Ah bien ! C'est ce que je pensais aussi !
Au plaisir de t'avoir aidé !



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