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Loi des Sinus
Bonjour,
Même pendant cette période inédite, j'ai un DM de Math à rendre et j'ai beau essayé dans tout les sens je n'y arrive pas ! Mon Dm est en trois partie voici la première sur le Loi des Sinus
Dans un triangle ABC, on note HA, HB et HC les pieds des hauteurs respectivement issues de A, B et C.
On note également a = BC, b = AC et c = AB et S l'aire du triangle ABC.
PARTIE A : Loi des sinus
1. Exprimer l'aire S du triangle ABC de trois manières différentes à l'aide des trois hauteurs.
2. Déterminer sin A, sin B et sin C en fonction de l'aire S et des longueurs a, b et c.
3. En déduire la loi des sinus :
sinA/a = sinB/b = sin C/c = 2S / abc
Je ne demande pas directement la réponse (même si je ne suis pas contre ) mais au moins quelques pistes
Merci
Bonjour,
Déjà, l'aire de 3 façons différentes en utilisant les hauteurs, c'est simple, tu l'as fait ?
(appelle A';B';C' les pieds des hauteurs)
Ensuite exprime les sinus des angles
par exemple sin A = coté opposé/hypoténuse dans le triangle ACC' ça donne quoi ?
Oui, pour la première question j'ai trouvé 3 résultats mais je doute tout de même
c'est C*C' / 2 = B*B' /2 = A*A' / 2 = AireS
C'est le plus logique mais bon
Et pour ce que tu me dis je trouverais
Sin A = Hc / b
Sin B = Hc / a
Sin C = Hb / a
Ce qui pourrait nous donner Hc = bSinA
Mais aussi Hc = aSinB
Donc bSinA = aSinB
Priam
C'est bien ce qui me semblait car c'étais compliqué pour la suite, mais ducoup comment je suis censé le trouver ?
Glapion
Oui je me suis trompé, en plus c'est même pas ce que j'avais mis sur ma feuille
Mais on ne peu pas simplifié ?
On verra après ce qu'on peut en faire, pour l'instant ça répond à la première question
2S = a * AA' = b * BB' = c * CC'
maintenant utilise les sinus
Sin A = CC' / b
même principe pour Sin B et sin C
et après réfléchis comment on va en déduire la loi des sinus.
Sin A = CC'/ b = BB' / c
Sin B = CC' / a = AA' / c
Sin C = BB' / a = AA' / b
C'est ce que j'ai trouvé pour les 3 Sinus.
J'ai une piste je ne sais pas si c'est ça
Sin A * b = CC'
Sin B * a = CC'
donc Sin A*b = Sin B *a
On divise des deux côtés
Sin A/a = Sin B/b = Sin C/c ?
Bonjour Misker,
Est-on obligé de nommé l'autre pour qu'il soit averti ?
pas nécessairement, sauf s'il y a plusieurs personnes qui te répondent et que tu veux t'adresser à un interlocuteur en particulier
garde plutôt des formules symétriques sans favoriser CC'
Sin A = CC' / b
Sin B = AA' / c
Sin C = BB' / a
Ensuite tu remplaces les AA' ; BB', et CC' en utilisant ces formules dans
2S = a * AA' = b * BB' = c * CC'
et tu n'auras plus qu'a diviser toutes les égalités par abc
Avec les formules des sinus tu peux exprimer CC' = b sin A et pareil pour BB' et AA' puis remplacer ça dans
2S = a * AA' = b * BB' = c * CC', non ?
Bonjour en cette nouvelle journée,
Alors ça nous donne 2s = a*cSinB = b*a SinC = c*bSinA
Je pense que je comprend pas ce que tu me demandes à celui là désolé :/ Glapion
très bien , tu divises maintenant tous les membres des égalités par abc et tu vas tomber sur la formule demandée.
Glapion
Effectivement merci !
2S / abc = SinA /a = SinB /b = SinC /c
Par contre je le justifie comment la division par abc ?
tu n'as rien à justifier, on a toujours le droit de diviser les deux membres d'une égalité par un même nombre non nul (et abc, c'est non nul).
)
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