Niveau autre

Loi empirique

Posté par
toureissa 02-09-21 à 21:39

Bonsoir à tous,

J'ai un souci à comprendre la notion de loi empirique.
Si on considère un échantillon aléatoire $(X_1, X_2,...,X_n)$ , c'est-à-dire une suite de variables aléatoires qui suivent une même loi, alors la loi empirique associée a cet échantillon est la distribution qui affecte le même poids à chaque point de l'échantillon.

Mon souci est que je ne comprend pas comment on peut faire une distribution entre des v.a , alors que d'habitude on le fait entre les évènements élémentaires associés à un univers .

Merci de m'aider !

Posté par re : Loi empirique 02-09-21 à 21:51

Bonsoir,
on ne fait pas une « distribution entre des v.a. ».
On suppose que les v.a. $(X_1, X_2,...,X_n)$ sont indépendantes et suivent la même loi.

Posté par re : Loi empirique 02-09-21 à 21:57

Oui j'ai oublié l'indépendance.
Mais jusqu'à présent je ne comprend pas la loi empirique.

Posté par re : Loi empirique 02-09-21 à 23:42

Bonsoir.

La loi empirique est un objet un peu délicat, car il s'agit d'une mesure aléatoire, c'est-à-dire que techniquement, la loi empirique est elle-même une variable aléatoire, à valeurs dans l'ensemble des mesures de probabilité.

En général on présente une version moins rigoureuse mais plus digeste de la loi empirique. Je pense notamment à la présentation suivante : soient $x_1,\cdots,x_n$ les réalisations de variables aléatoires (indépendantes et identiquement distribuées) $X_1,\cdots,X_n$ . La loi empirique est alors l'application $\mu$ définie pour tout événement A par

$\mu(A)=\frac1n\sum_{k=1}^n1_{\{x_k\in A\}}$

Un exemple ? Supposons que $X_1,\cdots,X_n$ correspondent au résultat d'un lancer de dé non pipé, i.e. sont uniformément distribuées sur $\{1,\cdots,6\}$ . Supposons qu'on observe 5 lancers, qu'on a fait un 1, deux 2, un 4 et un 6. Alors :
$\mu(\{1\})=\mu(\{4\})=\mu(\{6\})=\frac15 \\ \mu(\{3\})=\mu(\{5\})=0 \\ \mu(\{2\})=\frac{2}{5}$

Posté par re : Loi empirique 03-09-21 à 06:12

Je vois maintenant , c'est parce que $\mu$ dépend du résultat de l'échantillon aléatoire qu'elle est aussi une mesure aléatoire.
Par conséquent ses moments sont aussi des v.a.

Merci beaucoup WilliamM007 !