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Loi exponentielle

Posté par
rom1921
14-03-18 à 17:18

Bonjour, je n'arrive pas à terminer cet exercice :

On suppose que la durée de vie X d'une voiture suit une loi exponentielle de paramètre \lambda =0.1 . (en prenant l'année pour unité de temps).

1) Calculer la probabilité (à 10-2 près) que la durée de vie d'une voiture soit :
a) exactement égale à 5 ans
b) au moins égale à 7 ans
c) comprise entre 3 et 9 ans

2) On sait qu'une voiture a duré déjà 10 ans
a) quelle est la probabilité qu'elle dépasse 17 ans de durée de vie ?
b) comparer ce résultat à celui de la question 1-b), que constate-t-on ?

3) Une famille possède 2 voitures dont l'une est âgée de 2 ans et l'autre de 8 ans. On suppose que leurs durées de vie, notées X1 et X2, suivent la même loi que X et sont indépendantes.
a) calculer la probabilité que la première voiture "rende l'âme" l'année suivante. Même question pour la deuxième voiture.
b) quelle est la probabilité que les deux voitures rendent toutes les deux l'âme l'année suivante ?

Voici mes réponses:

1)a) probabilité nulle car la loi exponentielle est continue
b) P (X >7) =0.50
c)P(3<X<9) = 0.33

2)a) P(X>17)/(X>10)=0.50
b) même résultat que 1)b) on voit que P(X>17)/(X>10)=P (X >7) =0.50

3) C'est ici que je bloque

Je vous remercie pour votre aide

Posté par
carpediem
re : Loi exponentielle 14-03-18 à 17:44

salut

occupons nous de la première voiture qui a deux ans

elle a donc vécu au moins deux ans et on cherche la probabilité qu'elle meurt l'année suivante donc on cherche

P(X \le 3 / X \ge 2) = P_{X \ge 2} (X \le 3) = ...

idem pour l'autre


on verra ensuite pour la b/ ...

Posté par
rom1921
re : Loi exponentielle 14-03-18 à 18:11

D'accord, donc :

P(X\leq 3/X\geq 2)=P_{X\geq 2}(X\leq 3)=\frac{P(X\leq 3)}{P(X\geq 2)}=\frac{F(3)}{1-F(2)}=\frac{e^{-3}}{1-e^{-2}}=e^{-1}=0.37.

C'est bien ça ?

Posté par
carpediem
re : Loi exponentielle 14-03-18 à 18:15

tout à fait ...

mais garde des valeurs exactes ...

Posté par
rom1921
re : Loi exponentielle 14-03-18 à 18:24

D'accord donc pour la deuxième voiture avec P(X\leq 9/X\geq 8) je trouve également un résultat de e^{-1}.

Posté par
matheuxmatou
re : Loi exponentielle 14-03-18 à 18:51

rom1921 @ 14-03-2018 à 18:11

D'accord, donc :

P(X\leq 3/X\geq 2)=P_{X\geq 2}(X\leq 3)=\frac{P(X\leq 3)}{P(X\geq 2)}=\frac{F(3)}{1-F(2)}=\frac{e^{-3}}{1-e^{-2}}=e^{-1}=0.37.

C'est bien ça ?


carpediem @ 14-03-2018 à 18:15

tout à fait ...

mais garde des valeurs exactes ...


ben non ! moi je suis pas tout à fait d'accord...

P_{X\geq 2}(X\leq 3)=\frac{P(2 \leq X \leq 3)}{P(X\geq 2)}=\frac{F(3)-F(2)}{1-F(2)}=\frac{e^{-3}-e^{-2}}{1-e^{-2}}=...

Posté par
matheuxmatou
re : Loi exponentielle 14-03-18 à 18:56

et l'expression de F est fausse aussi non ?

F(t) = 1-e^{-0.1 \times t} ici... non ?

Posté par
matheuxmatou
re : Loi exponentielle 14-03-18 à 18:57

et par quel miracle a-t-on \dfrac{e^{-3}}{1-e^{-2}} = e^{-1} ???

Posté par
verdurin
re : Loi exponentielle 14-03-18 à 18:58

Bonsoir,
la loi exponentielle est une loi « sans mémoire ».

P(X>a|X>b) = P(X> a-b)

Posté par
matheuxmatou
re : Loi exponentielle 14-03-18 à 19:01

bref... pour le 3a) moi je dirais :


P_{X\geq 2}(X\leq 3)=\frac{P(2 \leq X \leq 3)}{P(X\geq 2)}=\frac{F(3)-F(2)}{1-F(2)}=\frac{e^{-0.2}-e^{-0.3}}{1-e^{-0.2}}=0,4298

Posté par
matheuxmatou
re : Loi exponentielle 14-03-18 à 19:05

mince, j'ai oublié de rectifier le dénominateur !


P_{X\geq 2}(X\leq 3)=\frac{P(2 \leq X \leq 3)}{P(X\geq 2)}=\frac{F(3)-F(2)}{1-F(2)}=\frac{e^{-0.2}-e^{-0.3}}{e^{-0.2}}=1 - e^{-0.1} = 0,095

Posté par
matheuxmatou
re : Loi exponentielle 14-03-18 à 19:05

merci Verdurin, c'est ta remarque qui m'a fait tilter !... y'avait tellement d'erreurs à corriger que j'en avais oublié une.

Posté par
verdurin
re : Loi exponentielle 14-03-18 à 19:19

Bonsoir matheuxmatou,
on peut aussi remarquer que l'usage d'une loi exponentielle pour la durée de vie d'une voiture est totalement absurde.
La loi exponentielle concerne les systèmes « sans usure ».

Posté par
carpediem
re : Loi exponentielle 14-03-18 à 19:36

matheuxmatou @ 14-03-2018 à 19:05

merci Verdurin, matheuxmatouc'est ta remarque qui m'a fait tilter !... y'avait tellement d'erreurs à corriger que j'en avais oublié une.
j'ai même pas tilté ...

verdurin @ 14-03-2018 à 18:58

Bonsoir,
la loi exponentielle est une loi « sans mémoire ».

P(X>a|X>b) = P(X> a-b)
certes mais encore faut-il le savoir ... c'est pourquoi j'ai proposé le plus simple et qui est au programme

merci Messieurs (il me semble) de veiller au grain et désolé pour la fausse erreur ...

Posté par
verdurin
re : Loi exponentielle 14-03-18 à 21:03

Salut cueilleur de jour.
Le fait que la loi exponentielle soit « sans mémoire » est était au programme des BTS.

Posté par
carpediem
re : Loi exponentielle 14-03-18 à 21:38

oui je sais mais de nos jours c'est plutôt nos élèves qui sont sans mémoire !!

j'en parle aussi même à mes sti dans un exemple et les S le font plus approfondi ... mais ça n'est pas exigé

quant à mes bts je fais de même vu ma première ligne ...

mais je préfère un travail "plus mécanique" (malheureusement) avec les proba conditionnelles avec ce genre d'élèves...



si tu voyais mes bts (qui viennent de plus en plus de bac pro) comme le niveau intellectuel est catastrophique ( à tout point de vu : lecture, écriture, calcul de niveau (très très .... très) élémentaire)

aujourd'hui même lors d'un contrôle sur la fonction ln en STI et des conditions d'existence il y avait des inéquations du genre

2x > 0
x² > 0
5 - 4x > 0

et tu verrais les résultats pour les à peine 20% qui ont proposé une réponse ...



tant que nos élèves ne sauront pas lire et écrire on pourra proposer toutes les réformes que l'on veut ça ne changera pas grand chose ... sauf à en faire de parfaits petits robots dénués de toute capacité d'analyse ...

Posté par
alb12
re : Loi exponentielle 14-03-18 à 21:42

salut,
cette loi est toujours au programme de termS, par exemple ici

Posté par
verdurin
re : Loi exponentielle 14-03-18 à 22:04

C'est ce genre choses qui permet de dire que le niveau monte.
C'est un exemple qu'avait invoqué madame Vallaud-Belkacem.

Mais on peut remarquer qu'il vaut mieux savoir qu'une loi exponentielle est sans mémoire pour répondre au sujet.

Personnellement, je l'introduisais à partir de cette propriété.

Posté par
rom1921
re : Loi exponentielle 15-03-18 à 12:39

Merci pour vos réponses, pour ma part la loi exponentielle n'est pas dans mon programme elle apparaît juste dans mon cours à titre d'exemple introductif des lois de probabilités continues sur un intervalle non borné de R, qui dans mon cas, pour étudier la loi normale.

C'est pour cela que j'ai des hésitation dans cet exercice car j'ai peu de chose sur la loi exponentielle.



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