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Loi exponentielle et loi de Poisson

Posté par
ardea 23-04-22 à 17:31

Bonjour,

Je bloque sur la question 2.

1)  Soit X une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre α. Montrer :

P_{(X \geq s) }(X \geq t + s) = P(X \geq t),   \vee t,s \geq 0.

2)  Soit N_{t} une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre λt. On pose T = inf \left\{t\geq 0, N_{t}=1 \right\}.  Quelle est la loi de la variable aléatoire T ?

Je ne sais pas si j'ai bien compris  T = inf \left\{t\geq 0, N_{t}=1 \right\} : cela signifie que T représente la plus petite valeur de t telle que N_{t}=1 ?

Merci par avance pour votre aide

Posté par
verdurinre : Loi exponentielle et loi de Poisson 23-04-22 à 19:04

Bonsoir,
telle quelle la définition de T ne semble pas avoir de sens.
Soit tu l'as mal copiée, soit il y a une erreur dans l'énoncé.

Posté par
ardeare : Loi exponentielle et loi de Poisson 23-04-22 à 19:26

Bonsoir verdurin,

Merci pour ta réponse.

J'ai recopié l'énoncé tel quel, il y a peut-être une erreur.

Le corrigé ne m'aide pas plus. Le voici :

T(\Omega ) =\left[0,+\infty \right]. Si t \geq 0, P(T\leq t) = 1 - P(T\geq t) = 1 - P(N_{t} =0) = 1 - e^{-\lambda t} et si t < 0, P(T \leq t) = 0. T suit donc une loi exponentielle de paramètre \lambda .

Posté par
verdurinre : Loi exponentielle et loi de Poisson 23-04-22 à 19:59

On peut remarquer que la définition de T utilisée dans le corrigé ne suppose pas Nt=1 mais Nt1.

En fait il s'agit d'un processus de Poisson mais la modélisation proposée me semble douteuse.

Posté par
ardeare : Loi exponentielle et loi de Poisson 24-04-22 à 11:04

Bonjour,

Merci beaucoup !


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