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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Loi exponentielle : Transfo VAs
Posté par Blynox
Bonjour,
Je bloque sur un exercice de probabilité.
Voici l'énoncé :
On considère deux VAs ξ1 et ξ2 indépendantes ayant la même densité de probabilités exponentielle avec L>0 :
P ξ1(x)=P ξ2(x) = L exp(-L*x) si x>=0 et 0 si x<0
1) écrire la densité jointe p ξ1, ξ2(x1,x2)
2) Trouver la densité jointe p ζ1, ζ2(y1,y2) de deux VAs transformées : ζ1= ξ1 + ξ 2 et ζ2 = ξ1/ξ2
3) en déduire que ζ1 et ζ2 sont indépendantes
Mes idées :
1) Variables indépendantes donc c'est juste : p ξ1, ξ2(x1,x2) = P ξ1(x)*P ξ2(x)
2) je pose y1 = g1(x1,x2)= x1+x2 et y2=g2(x1,x2) = x1/x2 et je calcule le jacobien mais après je bloque
(C'est une indication de l'énoncé d'utiliser le jacobien)
3) C'est indépendant si le produit de :
p ζ1, ζ2(y1,y2) = p ζ1(y1)* p ζ2(y2) et je compare avec le résultat de la question 2
Merci d'avance pour l'aide
Bonsoir Blynox,
tu peux déterminer la densité jointe de la question 2 en regardant
où phi est positive ou intégrable bornée etc... Une fois l'intégrale exprimée suite au changement de variable, la densité apparaît vite.
Bonne soirée
Bonjour,
J'ai essayé de faire comme vous avez dit la moyenne, mais ça ne donne rien de particulier. Je ne comprends pas comment agencer ces calculs ? Et que vaut phi ?
Bonne journée
Pour la question 2, est ce quelqu'un peut détailler d'avantage les étapes de résolutions s'il vous plaît ?
Si X est réelle de densité et Y est réelle de densité
et si
est leur densité jointe.
Si u est fonction continue bornée sur
alors
Essaie d'appliquer ça, et de faire un changement de variable adéquat